层次包围体（Bounding volume hierarchies, BVH）是一种基于图元（Primitive，构成场景的基本元素，如三角形、球面等）划分的空间索引结构。说它是基于图元的，是因为它是将场景中的图元划分成不相交集的层次结构（Hierarchy of disjoint sets）；与之相对的基于空间（Spatial）划分的空间索引结构（例如下一节里介绍的KdTree）则是将空间划分成不相交集的层次结构。

上图展示了一个简单场景的BVH，图元被存储在叶节点上，每一个节点都存储了一个包围了其所有子节点内图元的包围盒。

基于图元划分的空间索引结构的有几个重要性质：

• 每一个图元在整个结构中只会出现一次。但是同一块空间区域可能会被多个节点所包含。
• 基于图元划分的空间索引结构消耗内存的上限是已知的。若每一个节点仅包含两个子节点，叶节点只存储一个图元，所有非叶节点的度都为
  ，则总结点的个数为
  （
  个叶节点，
  个非叶节点，二叉树的性质）。

BVH相比于KdTree构建效率更高，但是遍历效率略低。另外，BVH相较于KdTree拥有更好的数值鲁棒性，更不容易因为浮点数舍入误差而导致弃真（实际相交，但是计算结果为不相交）情况的出现。

BVH的构建

整个构建过程可以大致分为三步（第二步和第三步可以直接合并，不过分成三步实现更加便于学习和理解）：

• 计算场景中每一个图元的AABB包围盒、质心（一般取包围盒的中心）并存储到数组中。
• 根据不同的划分策略构建树状索引结构。
• 将得到二叉树转化更加紧凑的表示形式（无指针，内存连续）。

PBRT中第二步得到的树中，非叶节点持有指向其子节点的指针，叶节点持有指向其所包含图元数组第一个元素的指针和所包含图元的个数。

整个构建的过程是一个递归（可以通过栈转化为循环）的过程。每一次递归接受一个左闭右开的区间

，处理数组中第

个到第

个图元。若区间中的图元数小于一个给定的值（叶节点最大图元数目），则递归终止并返回一个叶节点。否则我们就需要考虑将区间内的图元按照一定的策略划分为

和

两部分（划分的过程可以使用std::partition函数对原数组进行更新），并递归地对划分好的

和

进行构造并返回子节点的指针。

构建过程中最重要的问题就是如何对图元进行划分。对于非叶节点，假设其只有两个子节点，若其包含了

个图元，则总共有

中划分的可能（

个图元，每一个图元可以被分到左边或者右边，则总共有

种情况，然后减去全部被分到一边的情况即可得到

）。这显然太多了，因此一般我们都是沿着某一个坐标轴进行划分，这样一来所有的情况只有

（书上是这么写的，不知道怎么算出来的。根据书中的插图我感觉应该是：将

个图元沿着坐标轴依次排开，并将图元简化为质心，则一共有

个间隙，则总共有

种划分的可能）。划分时要尽可能减少划分后两部分包围盒重叠的体积，因为重叠的体积越大，Ray穿过重叠区域的可能性越大，遍历两个子树的可能性就越高，计算消耗越多。

因为我们最终的目的是要减少划分后左右子节点重叠的体积，因此一般在图元跨度最大的坐标轴上进行划分。这里，图元的跨度可以用图元的包围盒来衡量也可以用图元的质心来衡量。

两种最简单的划分方法是：

• 取坐标轴跨度的中点
  ，若节点的坐标小于
  则将其划分到左节点，否则将其划分到右键点（中点划分）。
• 最左边的
  个被划分到左节点，最右边的
  个被划分到左节点（等量划分）。

当图元分布不均匀的时候，上面两种方法得到的划分结果会变得很差。

一种更为常用且效果更好的方法是基于表面积的启发式评估划分方法（Surface Area Heuristic，SAH），这种方法通过对求交代价和遍历代价进行评估，给出了每一种划分的代价（Cost），而我们的目的便是去寻找代价最小的划分。

假设当前节点的包围体中存在

个物体，设对每一个物体求交的代价为

，如果不做划分依次对其求交则总的代价为：

如果这些物体划分为2组，这两组物体分别处于它们的包围盒A和B中。设光线击中它们的概率分别为

和

，需要注意包围盒

和

之间存在重叠，且它们并不一定会填满其父节点的包围体，因此

和

的和不一定为1，且它们的和越大说明

和

的重叠程度越大。综上所述，当前节点求交的代价可以写为：

其中

表示遍历树状结构的代价。一般来说，我们假设对所有图元的求交代价是相同的，可设

，又遍历的代价小于求交的代价，可设

。设包围盒A中图元的个数为

，B中图元的个数为

，则：

光线击中包围盒的概率可以根据包围体的表面积来估计，即在父节点的包围体C中，A和B的表面积越大它们被击中的概率也就越大，设

，

和

的表面积为

，

和

，则有：

SAH考虑到了图元在空间中的分布也考虑到了子节点包围体的重叠程度，在实际应用中拥有很好的效果。

在实现的时候，相比于计算可能划分的代价然后寻找代价最小的划分，一种更好的办法是将节点

所包围的空间沿着跨度最长的那个坐标轴的方向将空间均等的划分为若干个桶（Buckets），划分只会出现在桶与桶之间的位置上。如图所示，若桶的个数为

则只会有

种划分的可能。

设图元质心在划分坐标轴上位置坐标的分量为

，则该图元所处桶的索引号为：

遍历

中所有的图元，统计每一个桶中图元的个数以及每一个桶的包围盒。注意，桶与桶之间存在重叠。得到这些信息后，就能计算每一种划分的代价：

需要注意的是，若当前所有图元质心的位置都相同，则需要进行特殊处理，一般有两种方法：

• 直接建立一个叶节点，该叶节点直接包含这些质心位置相同的图元。
• 按照数量均等的分给两个子节点。

既然这些图元都靠在一起了，那么无论你怎么分都没用，反正都要挨个求次交，所以第一种方法更好一些。