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交错排列问题简介
求解过程
总结

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本文详细讨论一道组合数学的经典问题：交错排列问题，参考总结自组合学大师Richard P. Stanley的文章A Survey of Alternating Permutations,以及自己的一点理解，如果有不对的地方请大家指出，谢谢！文章有需要者可直接点击链接下载或从我分享的资源中下载。

交错排列问题简介

设π=a1a2⋯an∈Zn+!,\pi=a_1a_2\cdots a_n\in\mathbb{Z}_n^+!,π=a1a2⋯an∈Zn+!, 如果排列 π\piπ满足a1>a2<a3>⋯,a_1>a_2<a_3>\cdots,a1>a2<a3>⋯, 则称 π\piπ是nnn元集Zn+\mathbb{Z}_n^+Zn+上的一个交错排列；如果排列π\piπ满足a1<a2>a3<⋯,a_1<a_2>a_3<\cdots,a1<a2>a3<⋯, 则称 π\piπ是nnn元集Zn+\mathbb{Z}_n^+Zn+上的一个反交错排列。

记Zn+!\mathbb{Z}_n^+!Zn+!中交错排列的个数为En(E_n(En(称为Euler数)))。

下面我们采用递推关系及指数型生成函数的方法求解EnE_nEn的表达式。

求解过程

令0⩽k⩽n0\leqslant k \leqslant n0⩽k⩽n, 从Zn+!\mathbb{Z}_n^{+}!Zn+!中选取其kkk子集SSS, 有(nk)\binom{n}{k}(kn)种取法; 由反交错排列定义，可设Sˉ=Zn+!−S\bar{S}=\mathbb{Z}_n^+!-SSˉ=Zn+!−S,在SSS中选取反交错排列uuu，有EkE_kEk种取法，并在 Sˉ\bar{S}Sˉ 中选取反交错排列vvv，有En−kE_{n-k}En−k种取法；

设www为n+1n+1n+1元排列，包含排列uuu的逆序列((( 即，若uuu表示为u1u2⋯uku_1u_2\cdots u_ku1u2⋯uk,则uuu的逆序列表示为uk⋯u2u1u_k\cdots u_2u_1uk⋯u2u1 )))、元素n+1n+1n+1和排列vvv，

则当n⩾2n\geqslant2n⩾2时，可以这种排列的方式得到唯一的www (((其实可以分两种情况，即 kkk 为奇数或偶数，但在这两种情况下只需变换元素n+1n+1n+1的位置，即可确定唯一的序列www )))，其中包含交错排列和反交错排列。

于是可在交错排列与反交错排列间建立双射，反交错排列www的个数为2En+1,2E_{n+1},2En+1, 所以可得到
2En+1=∑k=0n(nk)EkEn−k,n⩾1.2 E_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} E_{k} E_{n-k}, \quad n \geqslant 1.2En+1=k=0∑n(kn)EkEn−k,n⩾1.
设EnE_nEn的指数型母函数为
y=∑n⩾0Enxnn!,y=\sum_{n \geqslant 0}{E_n \frac{x^n}{n!}}, y=n⩾0∑Enn!xn,
并由初值条件E0=E1=1,E_0=E_1=1,E0=E1=1,

两边同乘以xnn!\frac{x^n}{n!}n!xn并对nnn从零到∞\infty∞求和，并应用指数型母函数的乘法公式，得到2y′=y2+1,y(0)=1.2y'=y^2+1, \quad y(0)=1.2y′=y2+1,y(0)=1. 分离变量，可得：

y=tan⁡(x2+π4)=1+tan⁡x21−tan⁡x2=1+sin⁡xcos⁡x=sec⁡x+tan⁡x,y=\tan (\frac x2+\frac \pi4)=\frac{1+\tan \frac x2}{1-\tan\frac x2}=\frac{1+\sin x}{\cos x}=\sec x+\tan x, y=tan(2x+4π)=1−tan2x1+tan2x=cosx1+sinx=secx+tanx,
故
∑n⩾0Enxnn!=sec⁡x+tan⁡x.\sum_{n \geqslant 0}{E_n \frac{x^n}{n!}}=\sec x +\tan x. n⩾0∑Enn!xn=secx+tanx.
由于tan⁡x\tan xtanx为奇函数而sec⁡x\sec xsecx为偶函数，所以：
tan⁡x=∑n≥0E2n+1x2n+1(2n+1)!\tan x=\sum_{n \geq 0} E_{2n+1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}tanx=n≥0∑E2n+1(2n+1)!x2n+1 sec⁡x=∑n≥0E2nx2n(2n)!\sec x=\sum_{n \geq 0} E_{2n} \frac{x^{2n}}{(2n) !} secx=n≥0∑E2n(2n)!x2n

综上可得：
∑n≥0Enxnn!=sec⁡x+tan⁡x=1+x+x22!+2x33!+5x44!+16x55!+61x66!+⋯.\begin{aligned} \sum_{n \geq 0} E_{n} \frac{x^{n}}{n !} &=\sec x+\tan x \\ &=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+2 \frac{x^{3}}{3 !}+5 \frac{x^{4}}{4 !}+16 \frac{x^{5}}{5 !}+61 \frac{x^{6}}{6 !}+\cdots. \end{aligned}n≥0∑Enn!xn=secx+tanx=1+x+2!x2+23!x3+54!x4+165!x5+616!x6+⋯.

总结

本文针对交错排列问题进行了分析，想要深入分析交错排列问题和 EulerEulerEuler 数的相关结论，请见上面所述论文。

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