gis里怎么把两个不同坐标系的图叠在一起

本节将推到一些与质点动力学有关的公式。

1.什么是广义坐标？

wiki关于广义坐标的定义为：

Generalized coordinatesen.wikipedia.org

坐标是描述质点位置的量，最常用的坐标系为直角坐标系，许多人在使用直角坐标系的过程中会形成一些定势思维，比如坐标的量纲一定是长度，单位矢量是不变的量。实际上坐标系的种类很多，但是正交坐标系由于其独到的性质而被广泛使用。

广义坐标是指在分析问题时，根据问题的特性，选择合适的坐标系来描述问题的一组坐标系。不同问题可能使用不同坐标系，某一问题必然会选择一种坐标系来描述。为了更加普适的数学表达，我们使用

来表示坐标系的分量。这里的

既可以指在问题1中采用的直角坐标系（x,y,z)，也可以指问题2中采用的球坐标系

。

我们统一地称问题1和问题2中的广义坐标为

。

2.为什么要用s下角标？广义坐标中坐标分量到底有多少个？

要搞懂s就必须理解两个概念：约束与自由度。

约束即对物体的位置和速度进行限制。通常用方程

来表达。

以单摆为例：

一般可选取（x,y)作为广义坐标，也可以选取

作为广义坐标。此时两者的坐标分量的个数都是2。但是直角坐标系下x,y是相互关联且一起运动的，在极坐标系下，r为固定值，只有

是变化的。我们完全可以说单摆系统的广义坐标为

。因为只需要知道了角度值，就可以确定小球的位置，而在直角坐标系下必须知道x,y才能确定小球位置。显然，在极坐标系下单摆系统的描述大大简化，我们可以认为平面单摆的最佳广义坐标的分量个数为1。

我们知道质点的平面运动的自由度为2，那么要描述该质点的运动，需要两个分量，广义坐标分量的个数应该为2，为什么平面单摆的最佳广义坐标分量为1呢？

很显然，小球受到来自绳子的约束，只能在以原点为中心的圆弧上运动，其自由度为1，因此只需要1个广义坐标分量。

这意味着约束将降低物体的自由度，使得描述物体位置的广义坐标分量的数量减少。

相信你已经注意到了，（最佳）广义坐标分量的个数和物体的自由度相等。

在定义自由度之前，我们再深入认识一下约束。

首先看看两种简单的约束。

几何约束：只约束了物体的几何位置，约束方程中只有位置矢量。

运动约束：约束方程中含有速度矢量。

平面单摆就是一个典型的几何约束，约束了绳子的长度为r，纯滚动是一种运动约束，因为它要求小球质心平动速度等于小球半径与小球的转动角速度的乘机。

理解了什么是几何约束与运动约束后，我们将借助这两个概念来理解约束的分类。

约束分为完整约束与非完整约束。

完整约束是几何约束，以及可以转化为几何约束的运动约束。非完整约束是指不能转化为几何约束的运动约束。相当于在运动约束中划分了一块领土给几何约束。

这就涉及到一个问题，现在有一个运动约束我怎么判断它到底是完整约束还是非完整约束？

其实非常简单，通过一定的数学变换（积分）后，约束方程能够消除时间t，速度这些量，把运动约束方程变成几何约束方程，那么这个运动约束就是完整约束。

以平面纯滚动为例子：

两边同时积分:

。显然，平面纯滚动是一个完整约束。

自由度即指的是独立坐标的个数，用s来表达，假设一个质点系有n个质点,k个完整约束，

个非完整约束，则

。

现在明白为什么广义坐标要用下标s了吧，我们更加希望我们选取的广义坐标是最优的，广义坐标分量的个数恰好等于系统的自由度。

3.广义坐标系下怎么表述质点的速度与加速度？

质点的位置用矢径

表示。

速度：

加速度：

在广义坐标系下：

全微分见过吧，实际上矢径是广义坐标的函数，即

，两边求全微分就能得到式（5）。

式（5）两边除以dt：

这里特别引入基矢量的定义，用于后面加速度的推导。

某个广义坐标分量的基矢量为：固定其他分量不变，矢径沿着该分量方向移动的单位矢量。

以极坐标为例子，其广义坐标为

。r方向的基矢量

，保持

不变，矢径沿着轴线r方向移动。

方向的基矢量

，保持

不变，矢径沿着圆弧方向移动。

可以看出这个定义与偏导数的定义基本一致。沿着某分量方向的基矢量的数学表达为：

把

称为度规，用

表示。

加速度的推导较为困难，我们先看看一些引理:

与

有关于

无关;

与

互不相关。2.连续函数的混合偏导可以交换顺序。

显然物体在此时的运动趋势与其所在的位置是没有关系的，因此1是成立的，并且

和

都是0。

第二个是高等数学中的定理，这里不再赘述。在经典物理里面，我们研究的主要还是连续性的问题，不用考虑不连续的情况。

通过上面两个引理，我们来证明引理3和引理4。

引理3：

通过引理1，可知上式中后项为0。

即：

引理3得证。

引理4：

引理4得证。

下面通过引理3和引理4来计算加速度。