判别多项式有无重因式的方法_几种有理分式分解的方法

分解步骤总览：

判别真假分式.
真分式分解出待定式.
待定系数求解方法: 实根法(一次式), 复根法(二次式), 求导法(一次n重), 极限法(一、二次的二重)

1. 判别真假分式

形如

的分式, 若分子指数等于或高于分母, 则要化为真分式.

^[1]

化简方法: 做多项式除法^[2]

例如:

2. 真分式分解

重一次因式

形如:

当

时

其中

为待定系数.

当

时

例如:

为待定系数.

二次因式

形如

当

时,

当

时,

例如:

3. 待定系数求解^[3]

无特征——反解方程法

将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解

多个不同的一次式, 且无重因式——实根代入法

形如

(1) 列出等式:

(2) 两边同时乘以

(3)令

, 化简即可求出

例如分解

令

同理可得

同一个因式的n重式——求导法

形如

(1) 设

(2) 两边同时乘以

得:

(3) 分别对等式两边求

阶导(即把

旁边的多项式导成常数)

(4) 令

, 这样没有导成常数的多项式均为0

(5)最后进行化简, 得出结果即为所求.

例:

令

对等式两边求5阶导:

对等式两边求4阶导:

, 带入

得

对等式两边求3阶导:

带入

得

一次类推, 解得:

针对多个不同无重二次因式部分——复根代入法

形如

或

与实根带入法步骤一致, 只是二次式可能出现的根是复数.

出现复数后, 将等式化为关于复数

的等式:

带入它的解

: 类似于

为已知的常数

令

获得等式(1)

获得等式(2)

两个未知量, 两个等式, 可以解出

总的来说就是分别合并虚数部分和实数部分, 令虚数=0, 即可获得两个等式.

例:

(1) 设

(2) 乘以因式

(3) 令

等式两边乘以

令

(取其一即可)

解得:

一次或二次式的二重因式——极限法

形如

只能用于二重因式分解出的「幂为1」的因式部分:

只能用于

的求解

只能用于

的求解.

(1) 使用实根、复根法求出无重因式,多重因式的二次幂项, 剩下二重因式的一次幂因式.

(2) 等式两边乘以

的某次幂, 使得未分解式的分子分母的最高次幂同阶,趋于无穷的极限为非零常数.

(3)解方程.

(4)若为二次式, 待定系数为

的, 只能求出

, 之后将已知的系数全部带入原式, 再令

为一个方便运算的常数, 解出方程即可得到B.

例:

分解

(1) 等式两边乘以

且令

,得

(2) 等式两边乘以

且令

,得

(3) 等式两边同时乘以

,使左边分子分母最

的最高次同阶, 并取极限

即

总结

多个一次式,不重复

实根法

多个二次式,不重复

复根法

一次多重

求导法

二重因式

极限法

参考

^http://120.113.174.201/class/inner/new/9.htm
^https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E9%99%A4%E6%B3%95
^https://wenku.baidu.com/view/b0b63c47b307e87101f6969f.html