smale学习之数学表达式(day2)

闵老板的帖子：数学表达式魔训

Q1.令$ \mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9 \} $ , 写出$ \mathbf{A} $上的 “模 2 同余” 关系及相应的划分.

$ \mathbf{R} = \{ (x, y) \in \mathbf{A} \times \mathbf{A} \vert x \mod 2 = y \mod 2 \} = \{(1, 5), (1, 9), (5, 9), (2, 8) (8, 2), (9, 5), (9, 1), (5, 1), (1, 1), (2, 2), (5, 5), (8, 8), (9, 9)\} $

$ \mathcal P = \{ \{ 1, 5, 9 \}, \{ 2, 8 \} \} $.

Q2.$ \mathbf{A} =\{1, 2, 5, 8, 9 \} $ ,自己给定两个关系$ \mathbf{R_2} $和$ \mathbf{R_1} $, 并计算$ \mathbf{R_1} \circ \mathbf{R_2}$, $ \mathbf{R_1}^+ $, $\mathbf{R_1}^* $.

给定$ \mathbf{A} $上的关系 $ \mathbf{R_1} = \{ (1, 2), (2, 5) \}, \mathbf{R_2} =\{ (2, 2), (2, 9), (5, 8) \} $, 那么

$ \mathbf{R_2} \circ \mathbf{R_1} = \{ (1, 2), (1, 9), (2, 8) \} $.

$ \mathbf{R_1}^+ = \bigcup_{i=1}^5 \mathbf{R_1}^i = \{ (1, 2), (2, 5), (1, 5) \} $.

$ \mathbf{R_1}^* = \mathbf{R_1}^+ \cup \mathbf{A}^0 = \{ (1, 2), (2, 5), (1, 5) ,(1, 1), (2, 2), (5, 5), (8, 8), (9, 9)\} $.

Q3.查阅粗糙集上下近似的定义并大致描述.

下面利用西瓜数据举个例.

西瓜	色泽	纹理	触感
$ w_1 $	青绿	清晰	软粘
$ w_2 $	青绿	模糊	硬滑
$ w_3 $	浅白	模糊	硬滑
$ w_4 $	浅白	清晰	软粘
$ w_5 $	青绿	稍糊	软粘
$ w_6 $	乌黑	稍糊	硬滑

现在我们有一个装着西瓜的集合, 记为：$ \mathbf{A} = \{w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6 \} $.

它具有三种属性, 色泽、纹理、触感. 按照色泽的不同, 又可以分为三类：$ \mathbf{X_1} = \{ w_1, w_2, w_5 \} $ (青绿), $ \mathbf{X_2} = \{ w_3, w_4 \} $ (浅白), $ \mathbf{X_3} = \{ w_6 \} $ (乌黑). 同理, 其他属性也可划分为几类.

有三种属性, 那么对集合$ \mathbf{A} $ 就有三种划分:

$ \mathcal P_1 = \{ \{w_1, w_2, w_5 \}, \{ w_3, w_4 \}, \{w_6 \} \} $.

$ \mathcal P_2 = \{ \{w_1, w_4 \}, \{ w_2, w_3 \}, \{w_5, w_6 \} \} $.

$ \mathcal P_3 = \{ \{w_1, w_4, w_5 \}, \{w_2, w_3, w_4 \} \} $.

所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识( $\mathcal P_1, \mathcal P_2, \mathcal P_3 $)一起就构成了一个知识系统, 它所决定的知识是集合 $ \mathcal R = \{ \{w_1\}, \{w_2\}, \{w_3\}, \{w_4\}, \{w_5\}, \{w_6\} \} $以及$\mathcal R $中集合的并.

对于集合$ \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}, \mathbf{B} = \{w_2, w_3, w_5 \} $，如何运用上面的知识库去描述它呢？纹理模糊且色泽青绿的瓜？色泽青绿且触感硬滑的瓜？都不是. 无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识, 都不能得到这个新的集合$ \mathbf{B} $,于是我们只好用我们已有的知识去近似它.

根据网上的定义, 下近似集是在那些所有的包含于X的知识库中的集合中求并得到的，而上近似则是将那些与X有交集的知识库中的集合求并得到的. 那么, 集合$ \{w_2, w_3, w_5 \}$作为$\mathbf{B}$的下近似, 集合$ \{w_2, w_3, w_4, w_5 \} $可以作为$\mathbf{B}$的上近似.

自我感觉, 这个上下近似有种“边界”的感觉.

Q4.举例说明你对函数的认识

我想函数(function)这个东西对于大家来说都不陌生, 官方一点的定义来说, 在数学领域中, 函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素. 常见的函数有很多, 比如基本初等函数,一次函数, 二次函数等等... 函数方法的实质就是当遇到实际问题的时候, 通过对问题的分析理解, 然后利用函数知识构造出解决问题的函数关系式, 进而通过对函数问题的研究, 使问题得以解决的一种数学思想方法.

当然, 在计算机行业中, 函数是指一段可以直接被另一端程序或代码引用的程序或代码.

Q5.解释推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标

$$\min \sum_{(i,j) \in \Omega} (f(x_i, t_j) - r_{ij})^2$$

各符号及含义.

首先整个式子我把它理解成一个L2损失函数, $ \min $表明了优化目标, 即使得损失函数的值最小. 若损失函数的值越小, 那么就证明预测得越准确.

其次$f (\mathbf{x}_i, \mathbf{t}_j) $表示的是系统预测的用户$\mathbf{x}_i $对商品$\mathbf{t}_j $的打分情况. $\Omega$表示的是一个位置集合.

Q6. 自己给定一个矩阵并计算其各种范数.

令$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} $, 那么

$ ||\mathbf{A}||_0 = 4 $.

$ ||\mathbf{A}||_1 = 7 $.

$ ||\mathbf{A}||_2 = \sqrt {15}$.

$ ||\mathbf{A}||_{\infty} = 3 $.

参考：百度百科.