1.多体系统量子态与量子算符

1.1量子态系数

例：两个自旋构成的基矢为四个4维向量, 可定义为
∣0⟩∣0⟩,∣0⟩∣1⟩,∣1⟩∣0⟩,∣1⟩∣1⟩|0\rangle|0\rangle,|0\rangle|1\rangle,|1\rangle|0\rangle,|1\rangle|1\rangle ∣0⟩∣0⟩,∣0⟩∣1⟩,∣1⟩∣0⟩,∣1⟩∣1⟩
其中, ∣i⟩∣j⟩=∣ij⟩=∣i⟩⊗∣j⟩(⊗|i\rangle|j\rangle=|i j\rangle=|i\rangle \otimes|j\rangle(\otimes∣i⟩∣j⟩=∣ij⟩=∣i⟩⊗∣j⟩(⊗ 称为直积、张量积、外积或克伦内克积,⊗\otimes⊗符号可省略 ), 例如:
∣1⟩=[10]T|1\rangle=\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right]^{T}∣1⟩=[10]T
∣11⟩=[10]T⨂[10]T=[1000]T|11\rangle=\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right]^{T}\bigotimes\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T}∣11⟩=[10]T⨂[10]T=[1000]T
( 等号代表左边态的系数等于右边的张量)
任意的二自旋量子态可写成基矢的线性叠加:
∣φ⟩=φ00∣00⟩+φ01∣01⟩+φ10∣10⟩+φ11∣11⟩=∑ij=01φij∣ij⟩|\varphi\rangle=\varphi_{00}|00\rangle+\varphi_{01}|01\rangle+\varphi_{10}|10\rangle+\varphi_{11}|11\rangle=\sum_{i j=0}^{1} \varphi_{i j}|i j\rangle ∣φ⟩=φ00∣00⟩+φ01∣01⟩+φ10∣10⟩+φ11∣11⟩=ij=0∑1φij∣ij⟩
二自旋量子态 ∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩ 的系数可看作是 4×14 \times 14×1 的向量[ φ00φ01φ10φ11]T,\left.\varphi_{00} \quad \varphi_{01} \quad \varphi_{10} \quad \varphi_{11}\right]^{T},φ00φ01φ10φ11]T, 或
2×22 \times 22×2 的矩阵 [φ00φ01φ10φ11],\left[\begin{array}{cc}\varphi_{00} & \varphi_{01} \\ \varphi_{10} & \varphi_{11}\end{array}\right],[φ00φ10φ01φ11], 二者相差一个reshape操作

1.2单体算符的运算

对于NNN自旋体系，对应希尔伯特空间维数为2N2^N2N ，即量子态的系数为2N2^N2N维张量（NNN阶张量，有NNN个指标，每个指标的维数是2，总维数是2N2^N2N），算符的系数为2N2^N2N × 2N2^N2N 维张量（2NNN阶张量,有2NNN个指标，每个指标的维数是2）
图形表示:

量子态

量子算符

定义单体算符：作用到某一个自旋上的算符，例如泡利算符，系数维数为2 × 2

单体算符作用到多体量子态的规则（以三自旋系统为例）：定义在第1个自旋空间中的算子O^(1)\hat{O}^{(1)}O^(1)（即该算子仅作用在第1个自旋上），其对应的系数维数为2 × 2 ，三自旋量子态∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩对应的系数维数为2 × 2 × 2，将O^(1)\hat{O}^{(1)}O^(1)作用到∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩上的公式可写为：
∣φ′⟩=O^(1)∣φ⟩=O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)∣φ⟩|\varphi^{'}\rangle = \hat{O}^{(1)}|\varphi\rangle = \hat{O}^{(1)}\otimes\hat{I}^{(2)}\otimes\hat{I}^{(3)}|\varphi\rangle∣φ′⟩=O^(1)∣φ⟩=O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)∣φ⟩
其中，I^(n)\hat{I}^{(n)}I^(n)为定义在第n个自旋空间的单位算符（单位算符的系数矩阵为单位阵）

注：对于多自旋态，严格而言，无法定义对某一个自旋的单独操作，相关算符也需定义在多自旋希尔伯特空间中；O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)\hat{O}^{(1)}\otimes\hat{I}^{(2)}\otimes\hat{I}^{(3)}O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)类似的与单位阵的直积可看作是单体算符需满足的形式。

在公式∣φ′⟩=O^(1)∣φ⟩=O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)∣φ⟩|\varphi^{'}\rangle = \hat{O}^{(1)}|\varphi\rangle = \hat{O}^{(1)}\otimes\hat{I}^{(2)}\otimes\hat{I}^{(3)}|\varphi\rangle∣φ′⟩=O^(1)∣φ⟩=O^(1)⊗I^(2)⊗I^(3)∣φ⟩中,O^(0)⊗I^(1)⊗I^(2)\hat{O}^{(0)}\otimes\hat{I}^{(1)}\otimes\hat{I}^{(2)}O^(0)⊗I^(1)⊗I^(2)的维数为2N2^N2N × 2N2^N2N,可以以指标收缩的形式作用到维数为2N2^N2N的量子态∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩上(矩阵与一个向量做一个矩阵乘)
但是,我们实际上不用按上述方式进行2N2^N2N × 2N2^N2N维矩阵与2N2^N2N维向量的矩阵积计算,而是作如下计算:
设∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩与∣φ′⟩|\varphi^{'}\rangle∣φ′⟩的系数分别为三阶张量φijk\varphi_{ijk}φijk和φi′jk′\varphi_{i^{'}jk}^{'}φi′jk′
设O^(1)\hat{O}^{(1)}O^(1)的系数为二阶矩阵Oii′(1)O^{(1)}_{ii^{'}}Oii′(1),则有如下公式:
φi′jk′=∑iOi′i(1)φijk\varphi_{i^{'}jk}^{'} = \sum_iO^{(1)}_{i^{'}i}\varphi_{ijk}φi′jk′=i∑Oi′i(1)φijk
将定义在第n个自旋的算符O^(n)\hat{O}^{(n)}O^(n)作用到自旋多体态上,仅需将算符与第n个指标进行收缩,对应的图形表示如图:

注：虽然仅进行第n个指标的收缩，但实际上，所有张量元可能被改变，并非仅有第n个指标对应的张量元发生改变，无法定义第n个指标对应的张量元，这与“无法定义对某一个自旋的单独操作”这一事实是一致的

1.3多体算符的运算

对于多体算符，当该算符可以写成多个定义在不同空间的单体算符的直积时，计算算符作用到多体态上时，仅需进行多次单体算符的作用即可

由于单体算符定义在不同空间，算符之间相互对易（即可以交换作用的顺序,O^(m)O^(n)=O^(n)O^(m)⇔[O^(m),O^(n)]=0\hat{O}^{(m)}\hat{O}^{(n)} = \hat{O}^{(n)}\hat{O}^{(m)} \Leftrightarrow[\hat{O}^{(m)},\hat{O}^{(n)}] = 0O^(m)O^(n)=O^(n)O^(m)⇔[O^(m),O^(n)]=0），故作用的顺序不影响结果。

例：将定义在第1个和第2个自旋空间中的算符O^=O^(1)⊗O^(2)\hat{O} = \hat{O}^{(1)}\otimes \hat{O}^{(2)}O^=O^(1)⊗O^(2)作用到三自旋态∣φ⟩|\varphi\rangle∣φ⟩上,得到的量子态∣φ′⟩|\varphi^{'}\rangle∣φ′⟩，相应的系数满足：
φi′jk′=∑ijOi′i(1)Oj′j(1)φijk\varphi^{'}_{i^{'}jk} = \sum_{ij}O^{(1)}_{i^{'}i}O^{(1)}_{j^{'}j}\varphi_{ijk}φi′jk′=ij∑Oi′i(1)Oj′j(1)φijk

一般情况下的图形表示如图：

如果算符不能分解成多个单体算符直积的形式，则根据分解的情况进行收缩；如果存在不同算符作用在相同自旋上，则重复上述规则，由下至上依次将各个算符所用到量子态上

下图给出一个图形表示示例：

1.4拓展：多体算符

如果量子算符为幺正算符（UU†=IUU^\dag = IUU†=I或者说算符的系数为幺正矩阵），则这些算符构成一个作用在多体态上的大的幺正操作，称之为量子线路（注：特殊情况下可不满足幺正性）
量子线路是可运行于量子计算机的模型（类似于逻辑门线路与经典计算机间的关系），张量网络为量子线路提供一个给定基底下的数学表示.

作用在8个自旋上，每个自旋初态为0

2.经典热力学基础

对于经典平衡态，系综理论（描述经典热力学的经典理论）的核心是：对于一个全同粒子构成的系统，该系统处于某一种状态（或构型，记为(s1,s2,...s_1,s_2,...s1,s2,...)）的概率

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