5.2 强归纳法和良序性

2024-04-17 21:48:06

5.2 强归纳法和良序性

强归纳法

强归纳法：要证明对所有整数n而言，P(n)为真，需要完成如下两个步骤：

基础步骤：证明P(1)为真。

归纳步骤：假设对于不超过k的j而言，P(j)为真，那么P(k+1)也为真。

实操

采用强归纳法证明如果n是大于1的整数，则n可以写作素数之积。
基础步骤：当n=2时，命题成立，2=1×2归纳步骤：假设对于大于1，小于k的整数，都可以写作素数之积。那么如果k+1是素数，很简单，k+1=1×(k+1)，如果k+1是合数，则k+1可以写成两个小于k+1的正整数a和b的积（合数定义），则根据假设，a和b可以写成两个素数之积，即k+1可以写作素数之积。基础步骤：当n=2时，命题成立，2=1 \times 2 \\ 归纳步骤：假设对于大于1，小于k的整数，都可以写作素数之积。那么如果k+1是素数，很简单，k+1=1 \times (k+1)，\\ 如果k+1是合数，则k+1可以写成两个小于k+1的正整数a和b的积（合数定义），则根据假设，a和b可以写成两个素数之积，\\ 即k+1可以写作素数之积。基础步骤：当n=2时，命题成立，2=1×2归纳步骤：假设对于大于1，小于k的整数，都可以写作素数之积。那么如果k+1是素数，很简单，k+1=1×(k+1)，如果k+1是合数，则k+1可以写成两个小于k+1的正整数a和b的积（合数定义），则根据假设，a和b可以写成两个素数之积，即k+1可以写作素数之积。

良序性公理

任意一个非空的非负整数集合都有最小元素。

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