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题目链接：SSL 1458

题目大意

有一个环，一开始全白，每次随机选一个点染黑，如果存在一个白色点两边都是黑色点那它会变成黑色，然后每次染了之后判定白色的数量，如果小于等于 k 就结束，否则分数增加，增加量为黑色点个数的 t 次方。
问你最后期望分数。

思路

首先我们考虑假设一定要它选到白色的，因为这样不会向自身转移。

那我们先化简式子：（假设 j j j 个位置是白色的，一次的费用是 Q Q Q）
f a = j d f b + d − j d f a + Q f_a=\dfrac{j}{d}f_b+\dfrac{d-j}{d}f_a+Q fa=djfb+dd−jfa+Q
j d f a = j d f b + Q \dfrac{j}{d}f_a=\dfrac{j}{d}f_b+Q djfa=djfb+Q
f a = f b + d j Q f_a=f_b+\dfrac{d}{j}Q fa=fb+jdQ

然后我们就只用看转移到别人，思考有哪些分类情况。
发现状态还是难以表示，于是考虑把一些状态归成一类。
发现我们可以把黑色的点弄成若干段，那其实有不同的是白色点的个数。
那我们设 f i , j f_{i,j} fi,j 为白色点有 i i i 个，黑色点分成了 j j j 段。

那考虑所有的情况，然后段之间一定要分开，所以你考虑一段带上右边的白色点，然后再插到剩下的白色点里面去。
然后因为你是环，你要确定 1 1 1 的位置，所以两个位置都要减一。
也就是 ( i − j − 1 j − 1 ) \binom{i-j-1}{j-1} (j−1i−j−1)，我们设其为 w ( i , j ) w(i,j) w(i,j)

然后进行情况讨论：

所有的情况： w ( i , j ) ∗ i w(i,j)*i w(i,j)∗i（这里是算上你选的情况）
放在了一个长度只有 2 2 2 的白色段之间： w ( i − 2 , j − 1 ) ∗ 2 j w(i-2,j-1)*2j w(i−2,j−1)∗2j（相当于你把这个白色的段插入到 ( i − 2 , j − 1 ) (i-2,j-1) (i−2,j−1) 的情况中，多了两个变色，黑色也裂多了一个段，然后你这个白色段你可以选左边或者右边的变黑）
放在了一个长度为 3 3 3 的白色段的中间： w ( i − 3 , j − 1 ) ∗ j w(i-3,j-1)*j w(i−3,j−1)∗j（跟上一个道理，不用乘二是因为只能选中间的染黑）
放在了黑色段的旁边： w ( i − 1 , j ) ∗ 2 j w(i-1,j)*2j w(i−1,j)∗2j（也是黑色段的两边都可以，然后占掉了一个变色）
放在了黑色段隔一个的旁边： w ( i − 2 , j ) ∗ 2 j w(i-2,j)*2j w(i−2,j)∗2j（跟上面同一个道理）
放在中间把一个白色段变成两半，这个的数量可以用所有减去前面的特别情况得到，然后转移呢是到 i − 1 , j + 1 i-1,j+1 i−1,j+1。
（前面的转移是跟 w w w 里面的位置一样的）

然后记得是期望，概率，所以要除所有的情况（ 1 1 1）。
然后最后直接枚举 f f f，按我们一开始推出的式子贡献如答案即可。

代码

#include<cstdio>
#define mo 998244353
#define ll long longusing namespace std;const int N = 2005;
int d, k, t;
ll f[N][N], jc[N], inv[N], invs[N];ll ksm(ll x, ll y) {ll re = 1;while (y) {if (y & 1) re = re * x % mo;x = x * x % mo; y >>= 1;}return re;
}ll C(int i, int j) {if (i < 0) return 0;if (j < 0 || j > i) return 0;return jc[i] * invs[j] % mo * invs[i - j] % mo;
}ll way(int i, int j) {if (!i && !j) return 1;return C(i - j - 1, j - 1);
}
//"-j"要隔位置 1...10 一块，"-1" 是环固定一个确定起点int main() {jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;invs[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) invs[i] = invs[i - 1] * inv[i] % mo;scanf("%d %d %d", &d, &k, &t);f[d - 1][1] = 1;for (int i = d - 1; i > 1; i--)for (int j = 1; j <= d; j++) {if (!f[i][j] || !way(i, j)) continue;ll tot = way(i, j) * i % mo, now, di = f[i][j] * ksm(tot, mo - 2) % mo;now = way(i - 2, j - 1) * 2 * j % mo; if (now) (f[i - 2][j - 1] += now * di % mo) %= mo; (tot += mo - now) %= mo;now = way(i - 3, j - 1) * j % mo; if (now) (f[i - 3][j - 1] += now * di % mo) %= mo; (tot += mo - now) %= mo;now = way(i - 1, j) * 2 * j % mo; if (now) (f[i - 1][j] += now * di % mo) %= mo; (tot += mo - now) %= mo;now = way(i - 2, j) * 2 * j % mo; if (now) (f[i - 2][j] += now * di % mo) %= mo; (tot += mo - now) %= mo;if (tot) (f[i - 1][j + 1] += tot * di % mo) %= mo;}ll ans = 0;for (int i = k + 1; i <= d - 1; i++)for (int j = 1; j <= d; j++)(ans += f[i][j] * d % mo * inv[i] % mo * ksm(d - i, t) % mo) %= mo;printf("%lld", ans);return 0;
}

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