题目描述

这里是NEERC2014的相关资料，包括榜、题目、标程，但是好像没有解题报告。
这是CF上的重现Gym100553。
当然在ICPC Live Archive上也有，这里是链接，但是好像不能提交了。所以去CF上比较好。
牛客网上也有这道题，有的代码两边都能过，但有的代码只能过其中一边。数据应该是一样的，也许是SPJ与时限写的不同。
如图，一个油罐，两端是球缺，中间是一个圆柱体。倾斜以后，再给定一个液面高度，求液面的体积。

按如下示意建立一个坐标系，然后求一个定积分即可（定积分的计算可以看这里）
∫−h球缺l+h球缺f(x)dx\int_{-h_{球缺}}^{l+h_{球缺}}f(x)dx∫−h球缺l+h球缺f(x)dx
其中，积分区域跟球缺的高度以及lll有关，而f(x)f(x)f(x)则是xxx处液体的横截面积，该面积要么为000，要么必然为一个弓形（当然整圆也可）。

直接计算定积分

这是CF上可以AC的代码，但是在牛客网T了两个点。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;double const EPS = 3E-3;
double const PI = acos(-1.0);
double const INF = 1E100;inline int sgn(double x){return x>EPS?1:(x<-EPS?-1:0);}
inline bool is0(double x){return 0==sgn(x);}
inline bool isEq(double x,double y){return is0(x-y);}
inline double myasin(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return asin(x);
}
inline double myacos(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return acos(x);
}//计算定积分
double integral(double(*f)(double),double x1,double x2){double sum = 0.0;for(double x=x1;x<=x2;x+=EPS){sum += f(x);}return sum * EPS;
}//计算弓形的高度，半径为r，高度为h
inline double area(double r, double h){if(is0(r)||sgn(h)<=0) return 0.0;if(sgn(h-r-r)>=0) return PI * r * r;double a = r - h;double theta = myacos(a/r);return (theta - 0.5 * sin(theta+theta)) * r * r;
}double D;//球冠底面的直径
double L;//圆柱体的长度
double R,R2;//球冠的球的半径
double T;//倾斜以后,圆柱体母线的高度,即倾斜角就是arcsin(T/L)
double H;//剩下的油,其液面高度，是从圆柱体的底端开始计算
double Theta;
double hOfQiuque,xLeft,xRight,rOfYuanzhu;
double K,B;//y=kx+B;当k是INF表示x=B//计算x处的横截面积，这是一个弓形
double f(double x){double r = rOfYuanzhu;if(x<0){r = sqrt(R2-(x-xLeft)*(x-xLeft));}else if(x>L){r = sqrt(R2-(x-xRight)*(x-xRight));}double y0 = K*x + B;if(isEq(K,INF)) y0 = (x<=B?INF:-INF);return area(r,y0+r-rOfYuanzhu);
}double proc(){if(isEq(T,L)) K = INF, B = H;else Theta = asin(T/L), K = -tan(Theta), B = H / cos(Theta);rOfYuanzhu = 0.5 * D;xLeft = sqrt(R2-rOfYuanzhu*rOfYuanzhu);hOfQiuque = R - xLeft;xRight = L + hOfQiuque - R;return integral(f,-hOfQiuque,L+hOfQiuque);
}int main(){freopen("damage.in","r",stdin);freopen("damage.out","w",stdout);//freopen("1.txt","r",stdin);while(5==scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&D,&L,&R,&T,&H)){R2 = R * R;printf("%.6f\n",proc()/1E6);}return 0;
}

这个是牛客网上可以AC的，但是在CF上WA。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;double const EPS = 1E-4;
double const PI = acos(-1.0);
double const INF = 1E100;inline int sgn(double x){return x>EPS?1:(x<-EPS?-1:0);}
inline bool is0(double x){return 0==sgn(x);}
inline bool isEq(double x,double y){return is0(x-y);}
inline double myasin(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return asin(x);
}
inline double myacos(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return acos(x);
}//计算定积分
double integral(double(*f)(double),double x1,double x2){double sum = 0.0;double fx;for(double x=x1;x<=x2;x+=EPS){sum += (fx = f(x));if(x>=0&&is0(fx)) break;}return sum * EPS;
}//计算弓形的高度，半径为r，高度为h
inline double area(double r, double h){if(is0(r)||sgn(h)<=0) return 0.0;if(sgn(h-r-r)>=0) return PI * r * r;double a = r - h;double theta = myacos(a/r);return (theta - 0.5 * sin(theta+theta)) * r * r;
}double D;//球冠底面的直径
double L;//圆柱体的长度
double R,R2;//球冠的球的半径
double T;//倾斜以后,圆柱体母线的高度,即倾斜角就是arcsin(T/L)
double H;//剩下的油,其液面高度，是从圆柱体的底端开始计算
double Theta;
//double A,B,C;//表示直线Ax+By=C;
double hOfQiuque,xLeft,xRight,rOfYuanzhu;
double K,B;//y=kx+B;当k是INF表示x=B//计算x处的横截面积，这是一个弓形
double f(double x){double r = rOfYuanzhu;if(x<0){r = sqrt(R2-(x-xLeft)*(x-xLeft));}else if(x>L){r = sqrt(R2-(x-xRight)*(x-xRight));}double y0 = K*x + B;if(isEq(K,INF)) y0 = (x<=B?INF:-INF);return area(r,y0+r-rOfYuanzhu);
}double proc(){/*if(is0(T)) A=0.0,B=1.0,C=H;else if(isEq(T,L))A=1.0, B=0.0, C=H;else Theta = myasin(T/L),A=sin(Theta),B=cos(Theta),C=H;//*/if(isEq(T,L)) K = INF, B = H;else Theta = asin(T/L), K = -tan(Theta), B = H / cos(Theta);rOfYuanzhu = 0.5 * D;xLeft = sqrt(R2-rOfYuanzhu*rOfYuanzhu);hOfQiuque = R - xLeft;xRight = L + hOfQiuque - R;return integral(f,-hOfQiuque,L+hOfQiuque);
}int main(){//freopen("1.txt","r",stdin);//freopen("2.txt","w",stdout);while(5==scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&D,&L,&R,&T,&H)){D /= 1E3, L /= 1E3, R /= 1E3,T /= 1E3, H /= 1E3;R2 = R * R;printf("%.3f\n",1E3*proc());}return 0;
}

直接计算的话，精度合适的范围很窄，不合适的话，要么就T，要么就WA。

辛普森方法

要注意写成分段积分的形式，因为如果整个积分的话，有可能存在起点、中点、终点均为000的情况，但起点到中点之间却有一小段体积。另外，递归的时候epsepseps不要乘0.50.50.5，否则会超时。直接设定一个值比较好。这是CF上能够AC的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;double const EPS = 1E-1;
double const PI = acos(-1.0);
double const INF = 1E100;inline int sgn(double x){return x>EPS?1:(x<-EPS?-1:0);}
inline bool is0(double x){return 0==sgn(x);}
inline bool isEq(double x,double y){return is0(x-y);}
inline double myasin(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return asin(x);
}
inline double myacos(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return acos(x);
}double simpson(double(*f)(double),double a,double b){double mid = ( a + b ) * 0.5;return (b-a)*(f(a)+f(b)+4.0*f(mid)) / 6.0;
}
//自适应辛普森积分的递归调用
double asr(double(*f)(double),double a,double b,double eps,double ans){double mid = ( a + b ) * 0.5;double lans = simpson(f,a,mid);double rans = simpson(f,mid,b);//精度够直接返回if(fabs(lans+rans-ans)<=eps) return ans;//精度不够递归调用return asr(f,a,mid,eps,lans) + asr(f,mid,b,eps,rans);
}
//自适应辛普森积分，区间[a, b]，精度eps，原函数f
double asr(double (*f)(double),double a,double b,double eps){return asr(f,a,b,eps,simpson(f,a,b));
}//计算弓形的高度，半径为r，高度为h
inline double area(double r, double h){if(is0(r)||sgn(h)<=0) return 0.0;if(sgn(h-r-r)>=0) return PI * r * r;double a = r - h;double theta = myacos(a/r);return (theta - 0.5 * sin(theta+theta)) * r * r;
}double D;//球冠底面的直径
double L;//圆柱体的长度
double R,R2;//球冠的球的半径
double T;//倾斜以后,圆柱体母线的高度,即倾斜角就是arcsin(T/L)
double H;//剩下的油,其液面高度，是从圆柱体的底端开始计算
double Theta;
double hOfQiuque,xLeft,xRight,rOfYuanzhu;
double K,B;//y=kx+B;当k是INF表示x=B//计算x处的横截面积，这是一个弓形
double f(double x){double r = rOfYuanzhu;if(x<0){r = sqrt(R2-(x-xLeft)*(x-xLeft));}else if(x>L){r = sqrt(R2-(x-xRight)*(x-xRight));}double y0 = K*x + B;if(isEq(K,INF)) y0 = (x<=B?INF:-INF);return area(r,y0+r-rOfYuanzhu);
}double proc(){if(isEq(T,L)) K = INF, B = H;else Theta = asin(T/L), K = -tan(Theta), B = H / cos(Theta);rOfYuanzhu = 0.5 * D;xLeft = sqrt(R2-rOfYuanzhu*rOfYuanzhu);hOfQiuque = R - xLeft;xRight = L + hOfQiuque - R;return asr(f,-hOfQiuque,0.0,EPS)+ asr(f,0.0,L,EPS)+ asr(f,L,L+hOfQiuque,EPS);
}int main(){/*以下两行注释掉就能在牛客上AC*/freopen("damage.in","r",stdin);freopen("damage.out","w",stdout);//freopen("1.txt","r",stdin);while(5==scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&D,&L,&R,&T,&H)){R2 = R * R;printf("%.6f\n",proc()/1E6);}return 0;
}

Romberg方法

Romberg方法采用了更多段的分段积分。因为在CF上如下数据很难通过。
10000 10000 5000 10000 0
这一组数据本质上就是计算一个球缺的体积，因此其积分曲线的一阶导数变化比较多样，有的地方比较平缓，而有的地方比较陡峭。使用Romberg方法需要将epsepseps设置的比较小，而这又会T其他点。分段积分就比较好。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;double const EPS = 1E-1;
double const PI = acos(-1.0);
double const INF = 1E100;inline int sgn(double x){return x>EPS?1:(x<-EPS?-1:0);}
inline bool is0(double x){return 0==sgn(x);}
inline bool isEq(double x,double y){return is0(x-y);}
inline double myasin(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return asin(x);
}
inline double myacos(double x){if(x<-1.0)x=-1.0;else if(x>1.0)x=1.0;return acos(x);
}//Romberg积分,求f(x)在[x1,x2]上的定积分
//r[0]表示T序列，r[1]表示S序列,r[2]表示C序列,r[3]表示R序列
double Romberg(double(*f)(double), double x1, double x2,double r[][4]){double h = x2 - x1;int m = 1;r[0][3] = INF;//首先计算T0r[0][0] = 0.5 * h * (f(x1)+f(x2));int const n = 20;for(int i=1;i<n;++i){double *now = *(r + i);double *prev = *(r + i - 1);double h2 = h;h *= 0.5, m <<= 1;//计算Tidouble x = x1 + h;double& sum = now[0];sum = 0.0;for(int j=1;j<m;j+=2){sum += f(x);x += h2;}sum = 0.5 * prev[0] + h * sum;//计算Sinow[1] = (4.0*now[0]-prev[0]) / 3.0;//计算Cinow[2] = (16.0*now[1]-prev[1]) / 15.0;//计算Rinow[3] = (64.0*now[2]-prev[2]) / 63.0;//cout<<i<<" "<<r[i][0]<<" "<<r[i][3]<<endl;//判断if(isEq(prev[3],now[3])) return now[3];}return r[n-1][3];throw runtime_error("XXXXXX");
}//*///计算弓形的高度，半径为r，高度为h
inline double area(double r, double h){if(is0(r)||sgn(h)<=0) return 0.0;if(sgn(h-r-r)>=0) return PI * r * r;double a = r - h;double theta = myacos(a/r);return (theta - 0.5 * sin(theta+theta)) * r * r;
}double D;//球冠底面的直径
double L;//圆柱体的长度
double R,R2;//球冠的球的半径
double T;//倾斜以后,圆柱体母线的高度,即倾斜角就是arcsin(T/L)
double H;//剩下的油,其液面高度，是从圆柱体的底端开始计算
double Theta;
double hOfQiuque,xLeft,xRight,rOfYuanzhu;
double K,B;//y=kx+B;当k是INF表示x=B
double Tmp[1004][4];//计算x处的横截面积，这是一个弓形
double f(double x){double r = rOfYuanzhu;if(x<0){r = sqrt(R2-(x-xLeft)*(x-xLeft));}else if(x>L){r = sqrt(R2-(x-xRight)*(x-xRight));}double y0 = K*x + B;if(isEq(K,INF)) y0 = (x<=B?INF:-INF);return area(r,y0+r-rOfYuanzhu);
}double proc(){if(isEq(T,L)) K = INF, B = H;else Theta = asin(T/L), K = -tan(Theta), B = H / cos(Theta);rOfYuanzhu = 0.5 * D;xLeft = sqrt(R2-rOfYuanzhu*rOfYuanzhu);hOfQiuque = R - xLeft;xRight = L + hOfQiuque - R;int n = 10;double delta = (L+hOfQiuque+hOfQiuque)/n;double x = -hOfQiuque,ans=0.0;for(int i=0;i<n;++i){ans += Romberg(f,x,x+delta,Tmp);x += delta;}return ans;
}int main(){/*以下两行注释掉就能在牛客上AC*/freopen("damage.in","r",stdin);freopen("damage.out","w",stdout);//freopen("1.txt","r",stdin);while(5==scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&D,&L,&R,&T,&H)){R2 = R * R;printf("%.6f\n",proc()/1E6);}return 0;
}

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