K空间的理解倒空间

魏格纳塞茨原胞就是第一布里渊区

一，晶格的Fourier变换

一个物理问题既可以在正（坐标）空间描写，也可以在倒（动量）空间描写

坐标表象 $r$ ，动量表象 $k$

为什么选择不同的表象？为什么是动量空间？

1.适当的选取一个表象，可以使得问题简化，容易处理

2.如果电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但是 $k$ 是守恒的，这是在坐标

表象当然不如在动量表象简单

3.衍射实验的理论基础，在量纲上，坐标空间和动量空间互为倒数，因此也把坐标和

动量空间分别称为正，倒空间，其他也沿用这种称谓

坐标空间中用格矢来描绘周期性

只是一个数字变换

如果晶体具有平移周期性，那么就有周期性的函数

关于傅里叶变换的理解？

二，倒格子（reciprocal lattice）

定义：对于Bravais格子种所有的格矢 $R_l$ ，有一系列动量空间矢量 $R_h$ ，满足 $e^{iK_h\cdot R_l}=1$

$K_h \cdot R_l=2\pi m, m \in Z$ 的全部格点 $K_h$ 的集合，构成该Bravais格子的倒格子，这些点称为倒格点, $K_h$ 称为倒格矢

因此Bravais格子也称为正格子

等价关系：知道 $K_h$ ，我们就可以算出 $R_l$

基矢的选取在布拉伐格子是任意的

倒格子基矢：

对正格子，假定 $R_l=l_1a_1+l_2a_2+l_3a_3$

代入 $K_h \cdot R_l=l_1 K_h \cdot a_1+l_2 K_h \cdot a_2+l_3 K_h \cdot a_3=2 \pi m$

如果选择一组b，使得 $b_i \cdot a_j=2 \pi \delta _{ij}$

那么矢量K就可由b组成 $K_h=h_1b_1+h_2b_2+h_3b_3$

$h_1,h_2,h_3$ 可以是整数

我们只是来确定倒空间的基矢，假定实空间的基矢选定，倒空间必然也是确定的

这就定义了倒格子基矢，它可以满足正，倒格矢之间的 $K \cdot R= 2\pi m$ 的关系

这样形式上与正格矢一样， $K_h$ 也具有平移对称性，

$\rightarrow$ 可用基矢与整数表示的平移周期性

$\rightarrow$ $K_h$ 定义了倒空间的Bravais格子， $b_i$ 就是倒格子基矢

$b_i \cdot a_j=2 \pi \delta _{ij}$ 表示了什么?

这是一个正交关系，即 $b_1$ 与 $a_2,a_3$ 正交！

如果用矢量画出来的话，看 $a_2$ 和 $a_3$ 确定的平面，即 $a_2 \times a_3$ 矢量垂直于该平面

$b_1$ 与 $a_2,a_3$ 正交

即矢量 $b_1$ 与 $a_2 \times a_3$ 平行！因此，可以设

$b_1=\eta (a_2 \times a_3)$

确定 $\eta$ 可以利用正交关系，就有

$a_1 \cdot b_1=\eta a_1 \cdot(a_2 \times a_3)= 2\pi$

$\eta = \frac {2 \pi}{a_1 \cdot (a_2 \times a_3)}=\frac{2 \pi}{\Omega}, b_l=\frac{2 \pi}{\Omega}(a_2 \times a_3), \Omega =| a_1 \cdot (a_2 \times a_3)|$

$\eta$ 就是 $2 \pi$ 除以原胞的体积

这样的话我们就可以推出下列公式

$b_1=2 \pi \frac{a_2 \times a_3}{a_1 \cdot (a_2 \times a_3)}, b_2=2 \pi \frac{a_3 \times a_1}{a_1 \cdot (a_2 \times a_3)}, b_3=2 \pi \frac{a_1 \times a_2}{a_1 \cdot (a_2 \times a_3)},$

有些教科书也将这个关系作为倒格子基矢的定义，即由这三个矢量可以定义倒格矢，倒格矢给出的端点集合构成倒格子

倒格子的倒格子就是正格子，所以完全是对应关系

$K_h$ 端点的集合构成倒空间中的Bravais格子

1.倒格矢 $K_h =h_1b_1+h_2b_2+h_3b_3$

2.满足平移对称性 $K_h =K_{h`}+K_{h``}$

h1,h2,h3都是整数，

倒格子原胞的体积: $\Omega^*=| b_1 \cdot (b_2 \times b_3)| = \frac{(2\pi)^3}{\Omega}$

如果是二维的倒格子，是需要把三维的一个维度看作时单位矢量 $a_3=\hat k$

$b_1=2 \pi \frac{a_2 \times \hat k}{\hat k \cdot (a_1 \times a_2)}, b_1=2 \pi \frac{ \hat k \times a_1}{\hat k \cdot (a_1 \times a_2)},$

正格子与到各自之间的关系：

不同空间描写晶体的对称性：

$r$ 空间（实空间）《=》 $k$ 空间

Bravais 格子《=》倒格子

W-S原胞《=》第一Brillouin区

$K_h =h_1b_1 + h_2b_2 +h_3 b_3$ 与晶面 $(h_1h_2h_3)$ 正交

注意这不是米勒指数(hkl) ，晶面指数 $(h_1h_2h_3)$ ，即该晶面族最靠近原点晶面的截距分别为 $\frac{a_1}{h_1},\frac{a_2}{h_2},\frac{a_3}{h_3}$

待续