【LOJ2867】「IOI2018」高速公路收费

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【思路要点】

首先，我们显然需要令所有边为 AAA 进行一次询问，得到 sss 到 ttt 的最短路。

我们可以从找到最短路上的一个点出发：

令所有与编号在 [1,mid][1,mid][1,mid] 中的点相邻的边为 BBB ，其余边为 AAA ，通过判断最短路是否不变，我们可以知道 sss 到 ttt 间是否存在一条不经过编号在 [1,mid][1,mid][1,mid] 中的点的最短路。因此通过二分，我们可以在 Log2NLog_2NLog2N 次操作内找到最短路上的一个点 rootrootroot 。

以 rootrootroot 为根，进行 BFSBFSBFS ，显然 sss 和 ttt 中必然有一个是其间任何一条最短路上 BFSBFSBFS 序最大的点。令所有与 BFSBFSBFS 序在 [mid+1,N][mid+1,N][mid+1,N] 中的点相邻的边为 BBB ，其余边为 AAA ，通过判断最短路是否不变，我们可以知道 sss 和 ttt 中是否有至少一个的 BFSBFSBFS 序在 [mid+1,N][mid+1,N][mid+1,N] 中。因此通过二分，我们可以在 Log2NLog_2NLog2N 次操作内找到 sss 和 ttt 中的一个。

不妨令找到了 sss ，以 sss 为根，进行 BFSBFSBFS ，同样通过二分，我们可以找到 ttt 。

时间复杂度 O(MLogN)O(MLogN)O(MLogN) ，使用操作次数不超过 3Log2N+13Log_2N+13Log2N+1 ，实测最多使用操作 515151 次，得分 909090 。

我们也可以从找到最短路上的一条边出发：

令所有与编号在 [1,mid][1,mid][1,mid] 中的边为 BBB ，其余边为 AAA ，通过判断最短路是否不变，我们可以知道 sss 到 ttt 间是否存在一条不经过编号在 [1,mid][1,mid][1,mid] 中的边的最短路。因此通过二分，我们可以在 Log2NLog_2NLog2N 次操作内找到最短路上的一条边 (rootx,rooty)(rootx,rooty)(rootx,rooty) 。

由于 (rootx,rooty)(rootx,rooty)(rootx,rooty) 在最短路上，有 dist(s,rootx)≠dist(s,rooty)dist(s,rootx)\ne dist(s,rooty)dist(s,rootx)̸=dist(s,rooty) 且 dist(t,rootx)≠dist(t,rooty)dist(t,rootx)\ne dist(t,rooty)dist(t,rootx)̸=dist(t,rooty) ，因此，以 rootx,rootyrootx,rootyrootx,rooty 为根，分别进行 BFSBFSBFS ，我们可以将点集分成两组，一组离 rootxrootxrootx 更近，另一组离 rootyrootyrooty 更近， sss 和 ttt 一定分别在其中一组中，用上文中的二分解决即可。

时间复杂度 O(MLogN)O(MLogN)O(MLogN) ，使用操作次数不超过 Log2M+Log2S+Log2T+1(S+T≤N)Log_2M+Log_2S+Log_2T+1\ (S+T≤N)Log2M+Log2S+Log2T+1 (S+T≤N) ，实测最多使用操作 505050 次，得分 100100100 。

【代码】

// 90 points Version - 3LogN + 1
#include "highway.h"
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
int n, m, costA, costB;
int s, t, dis, root;
int dist[MAXN], num[MAXN], q[MAXN];
vector <int> u, v;
vector <int> a[MAXN], input;
void work(int l, int r) {if (l == r) {root = l;return;}int mid = (l + r) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if ((u[i] >= 1 && u[i] <= mid) || (v[i] >= 1 && v[i] <= mid)) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) work(l, mid);else work(mid + 1, r);
}
void bfs(int from) {memset(dist, -1, sizeof(dist));int l = 1, r = 1, timer = 1;q[1] = from, dist[from] = 0, num[from] = 1;while (l <= r) {int tmp = q[l++];for (unsigned i = 0; i < a[tmp].size(); i++)if (dist[a[tmp][i]] == -1) {dist[a[tmp][i]] = dist[tmp] + 1;q[++r] = a[tmp][i];num[a[tmp][i]] = ++timer;}}
}
void find_pair(int tn, vector <int> tu, vector <int> tv, int ta, int tb) {n = tn, costA = ta, costB = tb;m = tu.size(), u = tu, v = tv;input.resize(m);dis = ask(input) / costA;for (int i = 0; i < m; i++) {tu[i]++, u[i]++, tv[i]++, v[i]++;int x = tu[i], y = tv[i];a[x].push_back(y);a[y].push_back(x);}work(1, n);bfs(root);int l = 2, r = n;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if (num[u[i]] >= mid || num[v[i]] >= mid) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) l = mid;else r = mid - 1;}bfs(s = q[l]);static int p[MAXN], pos[MAXN]; int tot = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (dist[i] == dis) p[i] = ++tot, pos[tot] = i;else p[i] = 0;l = 1, r = tot;while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if ((p[u[i]] >= l && p[u[i]] <= mid) || (p[v[i]] >= l && p[v[i]] <= mid)) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) r = mid;else l = mid + 1;}t = pos[l];answer(s - 1, t - 1);
}
// 100 points Version - LogS + LogT + LogM + 1 (S + T == N)
#include "highway.h"
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
int n, m, costA, costB;
int s, t, dis, rootx, rooty;
int distx[MAXN], numx[MAXN], qx[MAXN];
int disty[MAXN], numy[MAXN], qy[MAXN];
vector <int> u, v;
vector <int> a[MAXN], input;
void work(int l, int r) {if (l == r) {rootx = u[l];rooty = v[l];return;}int mid = (l + r) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if (i <= mid) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) work(l, mid);else work(mid + 1, r);
}
void bfs(int from, int *dist, int *q, int *num) {for (int i = 1; i <= n; i++)dist[i] = -1;int l = 1, r = 1, timer = 1;q[1] = from, dist[from] = 0, num[from] = 1;while (l <= r) {int tmp = q[l++];for (unsigned i = 0; i < a[tmp].size(); i++)if (dist[a[tmp][i]] == -1) {dist[a[tmp][i]] = dist[tmp] + 1;q[++r] = a[tmp][i];num[a[tmp][i]] = ++timer;}}
}
void find_pair(int tn, vector <int> tu, vector <int> tv, int ta, int tb) {n = tn, costA = ta, costB = tb;m = tu.size(), u = tu, v = tv;input.resize(m);dis = ask(input) / costA;for (int i = 0; i < m; i++) {tu[i]++, u[i]++, tv[i]++, v[i]++;int x = tu[i], y = tv[i];a[x].push_back(y);a[y].push_back(x);}work(0, m - 1);bfs(rootx, distx, qx, numx);bfs(rooty, disty, qy, numy);static int p[MAXN], pos[MAXN]; int tot = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (distx[qx[i]] < disty[qx[i]]) p[qx[i]] = ++tot, pos[tot] = qx[i];else p[qx[i]] = 0;int l = 1, r = tot;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if (p[u[i]] >= mid || p[v[i]] >= mid) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) l = mid;else r = mid - 1;}s = pos[l];tot = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (disty[qy[i]] < distx[qy[i]]) p[qy[i]] = ++tot, pos[tot] = qy[i];else p[qy[i]] = 0;l = 1, r = tot;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) / 2;for (int i = 0; i < m; i++)if (p[u[i]] >= mid || p[v[i]] >= mid) input[i] = 1;else input[i] = 0;if (ask(input) != 1ll * dis * costA) l = mid;else r = mid - 1;}t = pos[l];answer(s - 1, t - 1);
}

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