模拟集成电路笔记 | 第三部分 | Chapter 5-6

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第五章电流镜与偏置技术

5.1 基本电流镜

电路图

IOUT=(W/L)2(W/L)1IREFI_{OUT\,\,}=\frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}I_{REF} IOUT=(W/L)1(W/L)2IREF
尺寸问题

电流镜中的所有晶体管通常采用相同的栅长 LLL （因为沟道长度加倍，实际长度 LeffL_{eff}Leff 没有加倍）同样地，对于晶体管的宽度 WWW，由于栅的拐角不能确定，晶体管的实际宽度并不能加倍；—般采用复制“单元”晶体管的方法复制电流。

5.2 共源共栅电流镜

当考虑沟道长度调制效应时，有
ID1=12μnCox(WL)1(VGS−VTH)2(1+λVTH1)ID2=12μnCox(WL)2(VGS−VTH)2(1+λVTH2)\begin{aligned} &I_{\mathrm{D}1}=\frac{1}{2}\mu _{\mathrm{n}}C_{\mathrm{ox}}\left( \frac{W}{L} \right) _1\left( V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}} \right) ^2\left( 1+\lambda V_{TH1} \right)\\ &I_{\mathrm{D}2}=\frac{1}{2}\mu _{\mathrm{n}}C_{o\mathrm{x}}\left( \frac{W}{L} \right) _2\left( V_{GS}-V_{\mathrm{TH}} \right) ^2\left( 1+\lambda V_{TH2} \right)\\ \end{aligned} ID1=21μnCox(LW)1(VGS−VTH)2(1+λVTH1)ID2=21μnCox(LW)2(VGS−VTH)2(1+λVTH2)

⟹ID2ID1=(W/L)2(W/L)11+λVDS21+λVDS1\Longrightarrow\frac{I_{D2}}{I_{D1}}=\frac{(\mathrm{W}/L)_2}{(W/L)_1}\frac{1+\lambda V_{\mathrm{DS}2}}{1+\lambda V_{\mathrm{DS}1}} ⟹ID1ID2=(W/L)1(W/L)21+λVDS11+λVDS2

对于基本电流镜，VDS1=VGS1=VGS2V_{DS1}=V_{GS1}=V_{GS2}VDS1=VGS1=VGS2，但是受 M₂ 输出端电路影响，VDS2V_{DS2}VDS2 不一定等于 VGS2V_{GS2}VGS2

方法一：迫使 VDS2=VDS1V_{DS2} = V_{DS1}VDS2=VDS1

采用共栅共源电流镜使得 VDS2V_{DS2}VDS2 可以屏蔽输出端（PPP 点）的影响，使 VDS2V_{DS2}VDS2稳定。

为了使 VDS2=VDDS,VDS2=Vb−VGS3=VDS1(VGS1)V_{DS2} = V_{DDS} , V_{DS2}=V_b-V_{GS3} =V_{DS1} \ (V_{GS1})VDS2=VDDS,VDS2=Vb−VGS3=VDS1 (VGS1) , 即$V_b =V_{GS1} + V_{GS3} $ 。如图有 Vb=VGS0+VGS1=VGS3+VGS1V_b= V_{G S0} +V_{GS1} = V_{GS3} + V_{GS1}Vb=VGS0+VGS1=VGS3+VGS1, 现在只要使$ V_{GS0} =V_{GS3}$ 即可.

由 ID0=ID1，ID3=ID2，VGS0=VGS3I_{D0}= I_{D1}，I_{D3}= I_{D2}，V_{GS0}= V_{GS3}ID0=ID1，ID3=ID2，VGS0=VGS3 得到：
W3/W0=W2/W1(只要满足上式，即可得到 VGS0=VGS3)W_3/W_0 = W_2/W_1 \\ (只要满足上式，即可得到 \ V_{GS0} = V_{GS3}) W3/W0=W2/W1(只要满足上式，即可得到 VGS0=VGS3)
此方法缺点：
因为 VDS2=VDS1=VGS1=VGS2V_{DS2} = V_{DS1} = V_{GS1} = V_{GS2}VDS2=VDS1=VGS1=VGS2, 所以 Y 处的电压选择较大, 实际上 VY=VDS2=VGS−VthV_Y = V_{DS2} = V_{GS}- V_{th}VY=VDS2=VGS−Vth 时, 也能使得 M2M_ 2M2 处在饱和区。因为 VYV_ YVY 选择的值较大（大一个 VthV_ {th}Vth），所以最后得到的输出电压 VpV pVp 的电压余度相对小一个 VthV_{th}Vth.
方法二：迫使 VDS1=VDS2V_{DS1} = V_{DS2}VDS1=VDS2\

在方法一中知道当 VDS2=VGS2−Vth2V_{DS2}=V_{GS2}- V_{th2}VDS2=VGS2−Vth2 时，输出电压才能消除一个 VthV_{th}Vth 的电压余度的浪费.

现在再来考虑如何让 VDS1=VDS2=VGS2−Vth2V_{DS1}=V_{DS2}= V_{GS2}- V_{th2}VDS1=VDS2=VGS2−Vth2

如下图，如果 VGS0=VGS3V_{GS0}=V_{GS3}VGS0=VGS3，则 VDS1=Vb−VGS0=Vb−VGS3=VDS2V_{DS1}= V_b- V_{GS0}= V_b- V_{GS3}= V_{DS2}VDS1=Vb−VGS0=Vb−VGS3=VDS2

如何产生 V_B 呢？

此处 M₅ 产生 VGS5=VGS0V_{GS5}= V_{GS0}VGS5=VGS0，M₆ 与 R_b 产生 VDS6=VGS6−Rb⋅I1=VGS1−Vth1V_{DS6}= V_{GS6} - R_b \cdot I_1=V_{GS1}-V_{th1}VDS6=VGS6−Rb⋅I1=VGS1−Vth1.

5.3 有源电流镜

5.3.1 有源负载差动对

由五管OTA（运算跨导放大器）实现，且包含有源电流镜(M₃、M₄)
M₂ 从节点 X 处抽取电流（I_D2 ⬇️），M₄ 从电源 V_DD 流入结点 X 的电流增加（-I_D4 ⬆️）。负载上会有两倍的变化量。

大信号分析：

正常工作状态时，输入应保证 P 点电位使尾电流源 M₅ 工作在饱和区。
- V_in1、V_in2 在V_inCM 附近时，M₁ - M₅ 在饱和区，M₃ 和 M₄ 电流变化相同，而 M₁ 和 M₂ 漏电流变化相反!向负载充放电电流 Iout=−ID4−ID2I_{out}= -I_{D4}-I_{D2}Iout=−ID4−ID2
- Vin1−Vin2V_{in1}-V_{in2}Vin1−Vin2 很正时（M₁ 或许在线性区）,尾电流全部流经M₁，而 M₂ 截止，I_D4 电流全部对负载充电使 V_out 上升;若 M₄ 进入深线性区，则 Vout⟶VDDV_{out} \longrightarrow V_{DD}Vout⟶VDD。
- Vin1−Vin2V_{in1}-V_{in2}Vin1−Vin2 为负时，V_out下降; Vin1−Vin2V_{in1}-V_{in2}Vin1−Vin2 很负时，M₁、M₃ 和 M₄ 无电流；M₂ 工作在深线性区，P 点被 V_GS1 降压直至 M₅ 深线性区，Vout⟹0V_{out} \Longrightarrow 0Vout⟹0。
  
  当电路对称时，有 VF=VoutV_F = V_{out}VF=Vout
小信号分析

对于小幅度的交变信号，P 点可看成接地点。

计算G_m：
ID1=∣ID3∣=∣ID4∣=gm1,2Vin2ID2=−gm1,2Vin2Iout+(−ID4)−ID2=0（PMOS由D⟶S为正）∣Gm∣=IoutVin=gm1,2\begin{aligned} I_{D1}&=\left| I_{D3} \right|=\left| I_{D4} \right|=g_{\mathrm{m}1,2}\frac{V_{\mathrm{in}}}{2}\\ I_{D2}&=-g_{\mathrm{m}1,2}\frac{V_{\mathrm{in}}}{2}\\ I_{out\,\,}&+\left( -I_{D4} \right) -I_{D2}=0\quad \text{（}PMOS\text{由}D\longrightarrow S\text{为正）}\\ \left| G_m \right|&=\frac{I_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=g_{\mathrm{m}1,2}\\ \end{aligned} ID1ID2Iout∣Gm∣=∣ID3∣=∣ID4∣=gm1,22Vin=−gm1,22Vin+(−ID4)−ID2=0（PMOS由D⟶S为正）=VinIout=gm1,2
对于输出阻抗 R_out：

Rout≈ro2∥ro4近似为∣Av∣=GmRout=gm1,2(ro2∥ro4)R_{out}\approx r_{o2}\parallel r_{o4}\quad \,\,\text{近似为} \left| A_{\mathrm{v}} \right|=G_{\mathrm{m}}R_{out}=g_{\mathrm{m}1,2}\left( r_{o2}\parallel r_{o4} \right) Rout≈ro2∥ro4近似为∣Av∣=GmRout=gm1,2(ro2∥ro4)

5.4 偏置技术

5.4.1 共源级偏置

确定 VBV_BVB 偏置电压而产生的电路

第六章放大器的频率特性

6.1 概述

6.1.1 米勒效应

米勒定理

对于电路：

电流通过阻抗Z由X流向Y

得到：
Z1=Z1−VYVXZ2=Z1−VXVY\begin{aligned} &Z_{1}=\frac{Z}{1-\frac{V_{Y}}{V_{X}}} \\ &Z_{2}=\frac{Z}{1-\frac{V_{X}}{V_{Y}}} \end{aligned} Z1=1−VXVYZZ2=1−VYVXZ
举例：

得到等效后的阻抗：
Z1=1(1+A)CF⏟等效电容S,Z2=1(1+1A)CF⏟等效电容SZ_1=\frac{1}{\underset{\text{等效电容}}{\underbrace{(1+A)C_F}}S},Z_2=\frac{1}{\underset{\text{等效电容}}{\underbrace{\left( 1+\frac{1}{A} \right) C_F}}S} Z1=等效电容(1+A)CFS1,Z2=等效电容(1+A1)CFS1
使用条件

计算输⼊阻抗：X和Y可以同相也可以反相

计算输出阻抗：X和Y必须反相
米勒效应的局限性
- 可能消除零点；
- 可能得到额外的极点；
- 计算输出阻抗需输入输出反相

6.1.2 极点与节点的关联

在前向结构放大器电路中，每个结点 j 的时间常数（极点）
= 节点到地总电阻*节点到地总电容，时间常数的倒数对应各极点的角频率。即信号通道上每个结点阻容值乘积（时间常数）之倒数贡献一个极点。
极点频率 ωp=1τ=1ReqCeq\text{极点频率}\ \ \omega _p=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{R_{eq}C_{eq}} 极点频率 ωp=τ1=ReqCeq1

6.2 共源级

米勒近似

win=1Rs[CGS+(1+gmRD)CGD],wout=1RD(CDB+CGO)传输函数为：VoutVin(s)=−gmRD⏞低频AV(1+sωin)(1+sωout)w_{\mathrm{in}}=\frac{1}{R_s\left[ C_{GS}+\left( 1+g_mR_D \right) C_{GD} \right]},w_{\mathrm{out}}=\frac{1}{R_D\left( C_{DB}+C_{GO} \right)} \\ \text{传输函数为：}\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=\frac{\overset{\text{低频}A_V}{\overbrace{-g_{\mathrm{m}}R_{\mathrm{D}}}}}{\left( 1+\frac{s}{\omega _{\mathrm{in}}} \right) \left( 1+\frac{s}{\omega _{out\,\,}} \right)} win=Rs[CGS+(1+gmRD)CGD]1,wout=RD(CDB+CGO)1传输函数为：VinVout(s)=(1+ωins)(1+ωouts)−gmRD低频AV
直接分析

对 X 点和 OUT 点各路电流求和计算传输函数
VoutVin(s)=(CGDs−gm)RDRSRDξ2s2+[RS(1+gmRD)CCD+RSCCSS+RD(CCDD+CDB)]s+1其中ξ=CGSCGD+CGSCDB+CGDCDB\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=\frac{\left( C_{G\mathrm{D}}s-g_{\mathrm{m}} \right) R_{\mathrm{D}}}{R_{\mathrm{S}}R_{\mathrm{D}}\xi ^2s^2+\left[ R_{\mathrm{S}}\left( 1+g_{\mathrm{m}}R_{\mathrm{D}} \right) C_{\mathrm{CD}}+R_{\mathrm{S}}C_{\mathrm{CSS}}+R_{\mathrm{D}}\left( C_{\mathrm{CDD}}+C_{\mathrm{DB}} \right) \right] s+1} \\ \text{其中} \xi =C_{GS\,\,}C_{GD}+C_{GS\,\,}C_{DB}+C_{GD}C_{DB} VinVout(s)=RSRDξ2s2+[RS(1+gmRD)CCD+RSCCSS+RD(CCDD+CDB)]s+1(CGDs−gm)RD其中ξ=CGSCGD+CGSCDB+CGDCDB
主极点近似

把传输函数的分母变换形式：
D=(sωp1+1)(sωp2+1)=s2ωp1ωp2+(1ωp1+1ωp2)s+1D=\left(\frac{s}{\omega_{p 1}}+1\right)\left(\frac{s}{\omega_{p 2}}+1\right)=\frac{s^{2}}{\omega_{p 1} \omega_{p 2}}+\left(\frac{1}{\omega_{p 1}}+\frac{1}{\omega_{p 2}}\right) s+1 D=(ωp1s+1)(ωp2s+1)=ωp1ωp2s2+(ωp11+ωp21)s+1
取特殊情况，如果 ωp1≫ωp2\omega_{p1} \gg \omega_{p2}ωp1≫ωp2，有 1ωp2≪1ωp1\frac{1}{\omega_{p2}} \ll \frac{1}{\omega_{p1}}ωp21≪ωp11，得到的 S 的系数为 1ωp1\frac{1}{\omega_{p1}}ωp11.

6.3 源跟随器

6.3.1 计算传输函数

1️⃣应用KCL（对 Y 结点）2️⃣应用 KVL（$V_{in}-R_S-C_{GS}-V_{out} \ \ $通路）

得到：
VoutVin(s)=gm+CGSsRS(CGSCL+CGSCGD+CGDCL)S2+(gmRSCGD+CL+CGS)s+gm\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=\frac{g_{\mathrm{m}}+C_{\mathrm{GS}}s}{R_{\mathrm{S}}\left( C_{\mathrm{GS}}C_{\mathrm{L}}+C_{\mathrm{GS}}C_{\mathrm{GD}}+C_{\mathrm{GD}}C_{\mathrm{L}} \right) S^2+\left( g_{\mathrm{m}}R_{\mathrm{S}}C_{\mathrm{GD}}+C_{\mathrm{L}}+C_{\mathrm{GS}} \right) s+g_{\mathrm{m}}} VinVout(s)=RS(CGSCL+CGSCGD+CGDCL)S2+(gmRSCGD+CL+CGS)s+gmgm+CGSs
其中，在等式右边分式的分子中（gm+CGSsg_{\mathrm{m}}+C_{\mathrm{GS}}sgm+CGSs），➕表示正号表示由 C_GS 传导的信号与本征半导体产⽣的信号以相同的极性相加，若极性相反则为负号。

6.3.2 输入阻抗 ZinZ_{in}Zin

Zin=1CGSs+(1+gmCGSs)1gmb+CLsZ_{\mathrm{in}}=\frac{1}{C_{\mathrm{GS}}s}+\left( 1+\frac{g_m}{C_{GS}s} \right) \frac{1}{g_{mb}+C_Ls} Zin=CGSs1+(1+CGSsgm)gmb+CLs1

考虑几个极端情况，如果 gmb=0，CL=0，Zin=∞g_{mb}= 0，C_L= 0，Z_{in}= \inftygmb=0，CL=0，Zin=∞

（因为 C_GS 两端电压增益为1，即没有电流流过，可把 CGS=0C_{GS}= 0CGS=0，电路开路）

（CGSC_{GS}CGS 即不贡献零点，也不贡献极点，CGSC_{GS}CGS 被源跟随器“自举”，称为自举电容）
在低频时（gmb≫∣CLs∣g_{mb} \gg \left| C_{L}s \right|gmb≫∣CLs∣）
Zin≈1CGSs+gmCGSs×1gmb=gm+gmbsCGSgmb=1sCGSgmbgm+gmbZ_{in}\approx \frac{1}{C_{GS}s}+\frac{g_m}{C_{GS}s}\times \frac{1}{g_{mb}}=\frac{g_m+g_{mb}}{sC_{GS}g_{mb}}=\frac{1}{sC_{GS}\frac{g_{mb}}{g_m+g_{mb}}} Zin≈CGSs1+CGSsgm×gmb1=sCGSgmbgm+gmb=sCGSgm+gmbgmb1
相当于使 C_GS 大大减小，总输入电容（加上 C_GD ）为：
=CGSgmbgm+gmb∣∣CGD=C_{G S} \frac{g_{m b}}{g_{m}+g_{m b}}|| C_{G D} =CGSgm+gmbgmb∣∣CGD
在⾼频时

高频条件下, gmb≪∣CLs∣,Zin g_{\mathrm{mb}} \ll\left|C_{L} s\right|, Z_{\text {in }}gmb≪∣CLs∣,Zin 为
Zin≈1CGSs+1CLs+gmCGSCLs2（相当于输⼊阻抗由电容CGS、CL和负电阻串联）Z_{\mathrm{in}}\approx \frac{1}{C_{\mathrm{GS}}s}+\frac{1}{C_{\mathrm{L}}s}+\frac{g_{\mathrm{m}}}{C_{\mathrm{GS}}C_{\mathrm{L}}s^2} \\ \text{（相当于输⼊阻抗由电容}C_{GS}\text{、}C_L\text{和负电阻串联）} Zin≈CGSs1+CLs1+CGSCLs2gm（相当于输⼊阻抗由电容CGS、CL和负电阻串联）

6.3.3 输入阻抗 ZoutZ_{out}Zout

Zout=VXIX=RSCGSs+1gm+CGSs，s=0时Zout=1gm,s=∞时Zout=RSZ_{\mathrm{out}}=\frac{V_X}{I_X}=\frac{R_SC_{GS}s+1}{g_m+C_{GS}s}\text{，} s=0 \text{时} Z_{\mathrm{out}}=\frac{1}{g_{m\,\,}},\quad s=\infty \text{时} Z_{\mathrm{out}}=R_S Zout=IXVX=gm+CGSsRSCGSs+1，s=0时Zout=gm1,s=∞时Zout=RS
考虑 $R_s > \frac{1}{g_m} $ 的情况

（阻抗随着频率的提高而增大，具有电感的特性 [Z=jwLZ= jwLZ=jwL] ）

（对于上面右图，当 s=0，Z1=R2s= 0，Z_1= R_2s=0，Z1=R2；当 s=∞，Z1=R1+R2s= \infty ，Z_1= R_1+ R_2s=∞，Z1=R1+R2，和上式 $s = 0 和 s = \infty $ 情况相比，有R2=1gm,R1=RS−R2=RS−1gmR_2 = \frac{1}{g_m}, R_1 = R_S - R_2 = R_S- \frac{1}{g_m}R2=gm1,R1=RS−R2=RS−gm1）

结合等效输出阻抗和原输出阻抗
Zout=R2+R1∥SL=1gm+(RS−1gm)∥SL=RSCGSs+1gm+CGSs（原Zout）\begin{aligned} Z_{\mathrm{out}}&=R_2+R_1\parallel SL\\ &=\frac{1}{g_m}+\left( R_S-\frac{1}{g_m} \right) \parallel SL\\ &=\frac{R_SC_{GS}s+1}{g_m+C_{GS}s}\text{（原}Z_{out}\text{）}\\ \end{aligned} Zout=R2+R1∥SL=gm1+(RS−gm1)∥SL=gm+CGSsRSCGSs+1（原Zout）

R1∣∣SL=Zout−R2=Zout−1gm=RSCGSs+1gm+CGSs−1gm=CGSs(RS−1gm)gm+CGSs1R1+1SL=1Zout−1gm=gm+CGSsCGSs(RS−1gm)=1RS−1gm+gmsGGS(RS−1gm)（得到电感1L=gmGGS(RS−1gm)）\begin{aligned} &R_1||SL=Z_{out}-R_2=Z_{out}-\frac{1}{g_m}=\frac{R_SC_{GS}s+1}{g_m+C_{GS}s}-\frac{1}{g_m}=\frac{C_{GS}s\left( R_S-\frac{1}{g_m} \right)}{g_m+C_{GS}s}\\ &\frac{1}{R_1}+\frac{1}{SL}=\frac{1}{Z_{\mathrm{out}}-\frac{1}{g_m}}=\frac{g_m+C_{GS}s}{C_{GS}s\left( R_S-\frac{1}{g_m} \right)}=\frac{1}{R_S-\frac{1}{g_m}}+\frac{g_m}{sG_{GS}\left( R_S-\frac{1}{g_m} \right)}\text{（得到电感}\frac{1}{L}=\frac{g_m}{G_{GS}\left( R_S-\frac{1}{g_m} \right)}\text{）}\\ \end{aligned} R1∣∣SL=Zout−R2=Zout−gm1=gm+CGSsRSCGSs+1−gm1=gm+CGSsCGSs(RS−gm1)R11+SL1=Zout−gm11=CGSs(RS−gm1)gm+CGSs=RS−gm11+sGGS(RS−gm1)gm（得到电感L1=GGS(RS−gm1)gm）

6.4 共栅级

传输函数和输入阻抗

VoutVin(s)=(gm+gmb)RD1+(gm+gmb)Rs1(1+CSgm+gmb+Rs−1s)(1+RDCDs)\frac{V_{out\,\,}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=\frac{\left( g_{\mathrm{m}}+g_{\mathrm{mb}} \right) R_D}{1+\left( g_{\mathrm{m}}+g_{\mathrm{mb}} \right) R_{\mathrm{s}}}\frac{1}{\left( 1+\frac{C_{\mathrm{S}}}{g_{\mathrm{m}}+g_{\mathrm{mb}}+{R_{\mathrm{s}}}^{-1}}s \right) \left( 1+R_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{D}}s \right)} VinVout(s)=1+(gm+gmb)Rs(gm+gmb)RD(1+gm+gmb+Rs−1CSs)(1+RDCDs)1

Zin≈ZL(gm+gmb)rO+1gm+gmb其中ZL=RD∥[1/(CDs)]Z_{in}\approx \frac{Z_L}{\left( g_m+g_{mb} \right) r_O}+\frac{1}{g_m+g_{mb}} \\ \text{其中} Z_L=R_D\parallel \left[ 1/\left( C_Ds \right) \right] Zin≈(gm+gmb)rOZL+gm+gmb1其中ZL=RD∥[1/(CDs)]
传输函数和输入阻抗（精确计算）

VoutVin(s)=1+gmrOrOCLCinRss2+[rOCL+CinRs+(1+gmrO)ClRs]s+1\frac{V_{out\,\,}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=\frac{1+g_{\mathrm{m}}r_{\mathrm{O}}}{r_OC_LC_{\mathrm{in}}R_{\mathrm{s}}s^2+\left[ r_OC_{\mathrm{L}}+C_{\mathrm{in}}R_{\mathrm{s}}+\left( 1+g_{\mathrm{m}}r_O \right) C_{\mathrm{l}}R_{\mathrm{s}} \right] s+1} \\ VinVout(s)=rOCLCinRss2+[rOCL+CinRs+(1+gmrO)ClRs]s+11+gmrO
上式中的gm用(gm+gmb)替换，便计入了体效应\text{上式中的}g_m\text{用}\left( g_m+g_{mb} \right) \text{替换，便计入了体效应}上式中的gm用(gm+gmb)替换，便计入了体效应
Zin=1gm+gmb+1CLs1(gm+gmb)rO（以1CLs代替ZL得到）Z_{\mathrm{in}}=\frac{1}{g_{\mathrm{m}}+g_{\mathrm{mb}}}+\frac{1}{C_Ls}\frac{1}{\left( g_{\mathrm{m}}+g_{\mathrm{mb}} \right) r_O}\text{（以}\frac{1}{C_Ls}\text{代替}Z_L\text{得到）} Zin=gm+gmb1+CLs1(gm+gmb)rO1（以CLs1代替ZL得到）
高频时，Zin=1gm+gmbZ_{in} = \frac {1} {g_m+g_{mb}}Zin=gm+gmb1，输入极点 ωp,in=1(Rs∥1gm+gmb)Cin\omega _{p,\mathrm{in}}=\frac{1}{\left( R_{\mathrm{s}}\parallel \frac{1}{g_m+g_{mb}} \right) C_{\mathrm{in}}}ωp,in=(Rs∥gm+gmb1)Cin1

6.5 共源共栅级

频率特性

与结点 A 相关联的极点
ωp,A=1RS[CGS1+(1+gm1gm2+gmb2)CGD1]\omega _{\mathrm{p},\mathrm{A}}=\frac{1}{R_{\mathrm{S}}\left[ C_{GS1}+\left( 1+\frac{g_{\mathrm{m}1}}{g_{\mathrm{m}2}+g_{\mathrm{mb}2}} \right) C_{GD1} \right]} ωp,A=RS[CGS1+(1+gm2+gmb2gm1)CGD1]1
其中 gm1gm2+gmb2\frac{g_{\mathrm{m}1}}{g_{\mathrm{m}2}+g_{\mathrm{mb}2}}gm2+gmb2gm1 表示从 A 点到 X 点的增益，因为增益小，得到的极点频率大，适合高频。

与结点 X 相关联的极点
ωp,x=gm2+gmb22CGD1+CDB1+CSB2+CGS2\omega _{p,x}=\frac{g_{\mathrm{m}2}+g_{\mathrm{mb}2}}{2C_{GD1}+C_{DB1}+C_{SB2}+C_{GS2}} ωp,x=2CGD1+CDB1+CSB2+CGS2gm2+gmb2

与结点 Y 相关联的极点
ωp.Y=1RD(CDB2+CL+CGD2)\omega _{\mathrm{p}.Y}=\frac{1}{R_{\mathrm{D}}\left( C_{DB2}+C_L+C_{GD2} \right)} ωp.Y=RD(CDB2+CL+CGD2)1
❗️考虑特殊情况（ R_D 用电流源来替换）

从 M₂ 源级看进去的电阻为
rX=RD+ro21+(gm2+gmb2)ro2r_X=\frac{R_D+r_{o2}}{1+\left( g_{m2}+g_{mb2} \right) r_{o2}} rX=1+(gm2+gmb2)ro2RD+ro2
那么与节点 X 相关联的极点会很低吗？

VoutVin=VoutIin/gm1≈−gm1gm2s(CYgm2+CXCYs)=−gm1sCY(1+s(gm2CX))\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{V_{\mathrm{out}}}{I_{\mathrm{in}}/g_{m1}}\approx -\frac{g_{m1}g_{m2}}{s\left( C_Yg_{m2}+C_XC_Ys \right)}=-\frac{g_{m1}}{sC_Y\left( 1+\frac{s}{\left( \frac{g_{m2}}{C_X} \right)} \right)} VinVout=Iin/gm1Vout≈−s(CYgm2+CXCYs)gm1gm2=−sCY(1+(CXgm2)s)gm1
与 X 相关联的极点 ωp,x=gm2CX\omega _{p,x}=\frac{g_{m2}}{C_X}ωp,x=CXgm2.

X 极点频率并没有那么小的原因：⾼频时输出负载为：RD∥1/(CX⋅s)=1/(CX⋅s)，[RD=∞]R_D \parallel 1/(C_X \cdot s)= 1/(C_X \cdot s)，[R_D= \infty]RD∥1/(CX⋅s)=1/(CX⋅s)，[RD=∞]，很⼤的 R_D 并不影响 X 点）

6.6 差动对

6.6.1 ⽆源和有源负载的差动对

⽆源负载差动对
- 未考虑失配情况
  - 低频时
    （差动增益）Avd=−gmRD（输出与输入同侧）（共模增益）AV,CM=∂Vout∂Vin,CM=−RD/212gm+rO3（共模抑制比）CMRR=AvdAv,CM=2gm(12gm+ro3)=1+2gmro3\text{（差动增益）}A_{vd}=-g_mR_D\text{（输出与输入同侧）} \\ \text{（共模增益）}A_{V,CM}=\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{out}}}{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{in},\mathrm{CM}}}=-\frac{R_D/2}{\frac{1}{2g_m}+r_{O3}} \\ \text{（共模抑制比）}CMRR=\frac{A_{vd}}{A_{v,CM}}=2g_m\left( \frac{1}{2g_m}+r_{o3} \right) =1+2g_mr_{o3} （差动增益）Avd=−gmRD（输出与输入同侧）（共模增益）AV,CM=∂Vin,CM∂Vout=−2gm1+rO3RD/2（共模抑制比）CMRR=Av,CMAvd=2gm(2gm1+ro3)=1+2gmro3
  - 高频时
    
    在上式中代入下式
    RD⇒RD∣∣1CLSrO3⇒rO3∣∣1CPS\begin{aligned} &R_{D} \Rightarrow R_{D}|| \frac{1}{C_{L} S} \\ &r_{O 3} \Rightarrow r_{O 3}|| \frac{1}{C_{P} S} \end{aligned} RD⇒RD∣∣CLS1rO3⇒rO3∣∣CPS1
- 考虑失配情况（仅考虑跨导失配 Δgm=gm1−gm2\varDelta g_m=g_{m1}-g_{m2}Δgm=gm1−gm2）
  - 低频时
    ADM=−RD2gm1+gm2+4gm1gm2rO31+(gm1+gm2)r03ACM−DM=−ΔgmRD(gm1+gm2)ro3+1\begin{aligned} &\mathrm{A}_{DM}=-\frac{R_D}{2}\frac{g_{m1}+g_{m2}+4g_{m1}g_{m2}r_{O3}}{1+\left( g_{m1}+g_{m2} \right) r_{03}}\\ &A_{CM-DM}=-\frac{\Delta g_mR_D}{\left( g_{m1}+g_{m2} \right) r_{o3}+1}\\ \end{aligned} ADM=−2RD1+(gm1+gm2)r03gm1+gm2+4gm1gm2rO3ACM−DM=−(gm1+gm2)ro3+1ΔgmRD
- 高频时
  
  高频时考虑寄生电容:
  Cp≈CGD3+CDB3+CGS1+CSB1+CGS2+CSB2C_{p} \approx C_{G D 3}+C_{D B 3}+C_{G S 1}+C_{S B 1}+C_{G S 2}+C_{S B 2} Cp≈CGD3+CDB3+CGS1+CSB1+CGS2+CSB2
  低频 RD⇒R_{D} \RightarrowRD⇒ 高频 RD∣∣1CLS,ro3⇒ro3∣∣1CPSR_{D}|| \frac{1}{C_{L} S}, r_{o 3} \Rightarrow r_{o 3}|| \frac{1}{C_{P} S}RD∣∣CLS1,ro3⇒ro3∣∣CPS1
  
  重新计算 ADM,ACM−DM，CMRRA_{DM}, A_{CM-DM}，CMRRADM,ACM−DM，CMRR
  CMRR=ADMACM−DM≈2gm2rO3(1+CP2gm)s)Δgm×(1+ro3CPs)其中零点为：CP2gm，极点为ro3CP，更高频时CMRR=gmΔgm\mathrm{CMRR}=\frac{A_{DM}}{A_{CM-DM}}\approx \frac{\left. 2g_{m}^{2}r_{O3}\left( 1+\frac{C_P}{2g_m} \right) s \right)}{\Delta g_m\times \left( 1+r_{o3}C_Ps \right)} \\ \text{其中零点为：}\frac{C_P}{2g_m}\text{，极点为}r_{o3}C_P\text{，更高频时}CMRR=\frac{\mathrm{g}_{\mathrm{m}}}{\Delta \mathrm{g}_{\mathrm{m}}} \\ CMRR=ACM−DMADM≈Δgm×(1+ro3CPs)2gm2rO3(1+2gmCP)s)其中零点为：2gmCP，极点为ro3CP，更高频时CMRR=Δgmgm
电流源负载差动对

上下图对比，ro1∥ro3⟺rD\mathrm{r}_{\mathrm{o}1}\parallel \mathrm{r}_{\mathrm{o}3}\Longleftrightarrow \mathrm{r}_{\mathrm{D}}ro1∥ro3⟺rD.

VoutVin(s)=−gm1(ro1∣∣ro3)1−(CGD1sgm1)1+(ro1∣∣ro3)(CL+CGD1)s极点ωp=1(ro1∣∣ro3)(CL+CGD1),（正）零点ωZ=gm1CGD1\frac{V_{out}}{V_{\mathrm{in}}}(s)=-g_{m1}\left( r_{o1}||r_{o3} \right) \frac{1-\left( \frac{C_{GD1}\mathrm{s}}{g_{m1}} \right)}{1+\left( r_{o1}||r_{o3} \right) \left( C_L+C_{GD1} \right) \mathrm{s}} \\ \text{极点}\omega _p=\frac{1}{\left( r_{o1}||r_{o3} \right) \left( C_L+C_{GD1} \right)},\quad \text{（正）零点}\omega _Z=\frac{g_{m1}}{C_{GD1}} \\ VinVout(s)=−gm1(ro1∣∣ro3)1+(ro1∣∣ro3)(CL+CGD1)s1−(gm1CGD1s)极点ωp=(ro1∣∣ro3)(CL+CGD1)1,（正）零点ωZ=CGD1gm1

6.6.2 电流镜负载差动对

传输函数

经过计算得到VoutVin=gmN(rON∣∣rOP)1+sωZ(1+sωp1)(1+sωp2)ωp1≈1(rOP∣∣rON)CL，主极点（时间常数最大）与输出节点关联ωp2≈gmPCE，镜像极点（次极点）与电流镜节点E关联零点ωz=2gmPCE=2ωp2两条RC信号路径并联产生零点\text{经过计算得到}\frac{V_{out}}{V_{in}}=g_{mN}\left( r_{ON}||r_{OP} \right) \frac{1+\frac{\mathrm{s}}{\omega _Z}}{\left( 1+\frac{\mathrm{s}}{\omega _{p1}} \right) \left( 1+\frac{\mathrm{s}}{\omega _{p2}} \right)} \\ \omega _{p1}\approx \frac{1}{\left( r_{OP}||r_{ON} \right) C_L}\text{，主极点（时间常数最大）与输出节点关联} \\ \omega _{p2}\approx \frac{g_{mP}}{C_E}\text{，镜像极点（次极点）与电流镜节点E关联} \\ \text{零点}\omega _z=\frac{2g_{mP}}{C_E}=2\omega _{\mathrm{p}2}\,\,\text{两条RC信号路径并联产生零点} 经过计算得到VinVout=gmN(rON∣∣rOP)(1+ωp1s)(1+ωp2s)1+ωZsωp1≈(rOP∣∣rON)CL1，主极点（时间常数最大）与输出节点关联ωp2≈CEgmP，镜像极点（次极点）与电流镜节点E关联零点ωz=CE2gmP=2ωp2两条RC信号路径并联产生零点
对传输函数进行变化
∴VoutVin(s)=A01+S2ωp2(1+Sωp1)(1+Sωp2)=A0211+Sωp1+A021(1+sωp1)×1(1+Sωp2)⏟快通路（带宽大）信号（M1,M2）+慢通路（带宽小）信号(M1,M3,M4)\therefore \frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}(\mathrm{s)}=\mathrm{A}_0\frac{1+\frac{S}{2\omega _{\mathrm{p}2}}}{\left( 1+\frac{S}{\omega _{\mathrm{p}1}} \right) \left( 1+\frac{S}{\omega _{\mathrm{p}2}} \right)}=\underset{\text{快通路（带宽大）信号（M}_1,\mathrm{M}_2\text{）}+\text{慢通路（带宽小）信号}\left( \mathrm{M}_1,\mathrm{M}_3,\mathrm{M}_4 \right)}{\underbrace{\frac{\mathrm{A}_0}{2}\frac{1}{1+\frac{S}{\omega _{\mathrm{p}1}}}+\frac{\mathrm{A}_0}{2}\frac{1}{\left( 1+\frac{s}{\omega _{\mathrm{p}1}} \right)}\times \frac{1}{\left( 1+\frac{S}{\omega _{\mathrm{p}2}} \right)}}} ∴VinVout(s)=A0(1+ωp1S)(1+ωp2S)1+2ωp2S=快通路（带宽大）信号（M1,M2）+慢通路（带宽小）信号(M1,M3,M4)2A01+ωp1S1+2A0(1+ωp1s)1×(1+ωp2S)1
（M₁、Ｍ₃、M₄ 通路总存在镜像极点 E，导致信号带宽小，是缺点！）

6.7 增益-带宽的折中

6.7.1 单极点电路

GBW=A0ωp=gm1(ro1∥ro2)12π(ro∥ro2)CL=gm12πCL其中极点ωp=1(ro1//ro2)CL)\mathrm{GBW}=A_0\omega _p=g_{m1}\left( r_{\mathrm{o}1}\parallel r_{\mathrm{o}2} \right) \frac{1}{2\pi \left( r_{\mathrm{o}}\parallel r_{\mathrm{o}2} \right) C_{\mathrm{L}}}=\frac{g_{m1}}{2\pi C_{\mathrm{L}}} \\ \text{其中极点}\omega _p=\frac{1}{\left. \left( \mathrm{r}_{\mathrm{o}1}//\mathrm{r}_{\mathrm{o}2} \right) C_L \right)} GBW=A0ωp=gm1(ro1∥ro2)2π(ro∥ro2)CL1=2πCLgm1其中极点ωp=(ro1//ro2)CL)1

增益带宽积 GBW 与输出电阻无关，且单极点电路 $GBW \approx \omega_u \text{（单位增益带宽）} $（书本有推导）

6.7.2 多极点电路

级联电路用于增大增益 (AvA_vAv) 和增益带宽积 (GBW)，但是必然会形成多极点，电路中带宽减小，反馈系统稳定性变差

N\mathrm{N}N 个相同电路级联形成 N\mathrm{N}N 重极点, 总带宽为 ωN,−3dB=ωp2N−1（减小）\omega_{N,-3 d B}=\omega_{p} \sqrt{\sqrt[N]{2}-1} \text（减小）ωN,−3dB=ωpN2−1（减小）