题目

猴子吃桃问题。猴子第1天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第2天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，就只剩下爱一个桃子了。求第1天共摘了多少桃子

数学思路及数学解法

本题的关键就是如何理解“到第10天早上想再吃时”，这里的第10天早上想再吃时剩下的是第9天吃剩下的，然后根据题目要求，设第n−1n-1n−1天没吃之前还剩下H(n−1)H(n-1)H(n−1)个桃子，则第n−1n-1n−1天猴子吃了H(n−1)2+1\frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} + 12H(n−1)+1个桃子，则第n−1n-1n−1天猴子吃过后剩下的桃子个数为
H(n−1)−[H(n−1)2+1]=H(n−1)2−1H(n-1)-\left [ \frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} + 1 \right ]=\frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} - 1H(n−1)−[2H(n−1)+1]=2H(n−1)−1
第n−1n-1n−1天吃了桃子后剩下的桃子个数即为第nnn天没吃之前还剩下桃子的个数，所以有如下递推关系H(n)=H(n−1)2−1H(n)=\frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} - 1H(n)=2H(n−1)−1
（这里的H(n)H(n)H(n)指的是第n天吃过后剩下的桃子个数，也就是说，若求第一天摘了多少，相当于求H(0)H(0)H(0)，第0天实际上是不存在，但是根据这个数列的定义可以发现，第1天摘了多少桃子相当于第0天吃过后还剩多少桃子）
但是这个题目没有以直接的方式给这个递推方程（差分方程）的初值条件，只给了第10天早上想吃之前还剩1个桃子（第9天吃过后剩下了1个桃子）这个条件，我们只能从第10天反向遍历到第1天，将递推方程恒等变形得：
H(n−1)=2[H(n)+1]H(n-1)=2\left [ H(n)+1 \right ]H(n−1)=2[H(n)+1]
由于第10天早上想吃之前还剩1个桃子（第9天吃过后剩下了1个桃子）
所以H(9)=1H(9)=1H(9)=1，则H(8)=2[H(9)+1]=2(1+1)=4H(8)=2\left [ H(9)+1 \right ] =2(1+1)=4H(8)=2[H(9)+1]=2(1+1)=4
这样我们就拿到了初值条件和差分方程
由于H(n)=H(n−1)2−1H(n)=\frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} - 1H(n)=2H(n−1)−1
则H(n)−H(n−1)2=−1H(n)-\frac{H\left ( n-1 \right ) }{2} =- 1H(n)−2H(n−1)=−1，这是一个一阶线性非齐次差分方程，它的特征方程为λ−12=0\lambda -\frac{1}{2} =0λ−21=0即λ=12\lambda =\frac{1}{2}λ=21
则设改方程对应的齐次方程的通解为HC(n)=C⋅(12)nH_{C} (n)=C\cdot \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{n}HC(n)=C⋅(21)n
则非齐次方程的特解为H∗(n)=AH_{*}(n)=AH∗(n)=A
则H(n)=C⋅(12)n+AH(n)=C\cdot \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{n}+AH(n)=C⋅(21)n+A
由于H(9)=1H(9)=1H(9)=1，H(8)=4H(8)=4H(8)=4则有
H(8)=C⋅(12)8+A=4H(8)=C\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{8}+A=4H(8)=C⋅(21)8+A=4
H(9)=C⋅(12)9+A=1H(9)=C\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{9}+A=1H(9)=C⋅(21)9+A=1
联立上述两个方程解得C=3⋅29C=3\cdot 2^{9}C=3⋅29,A=−2A=-2A=−2
故差分方程的通解为H(n)=3⋅29⋅(12)n−2H(n)=3\cdot 2^{9}\cdot \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{n}-2H(n)=3⋅29⋅(21)n−2
故第一天摘了H(0)=1534H(0)=1534H(0)=1534个桃子
这是利用差分方程理论的数学解法，计算机可以利用递推关系进行循环得到结果，循环结束的条件是天数小于0,（也就是说我们要求到第0天即H(0)H(0)H(0)），P.S循环的时间复杂度不如直接将数列通项公式直接带入好，但是在这里为了体现编程的思想我还是给出循环的C语言代码实现，但是通项公式法需要编程人员掌握大学微积分（高等数学）。

代码（循环法）

#include <stdio.h>
//到第m天吃过后还剩下n个桃子
void func(int m,int n)
{int temp = m;//用于记录天数m的变量，在下文中会将其作为循环的迭代器int x1 = 0;//记录H(n-1)int x2 = n;//记录H(n)if (m == 0 || n == 0){printf("天数和桃子数不符合规定！\n");}//循环，一直到天数小于等于0时退出while (temp > 0){//求出当前天的前一天还剩多少桃子即H(n-1)x1 = 2 * (x2 + 1);//让x2变成x1，即天数向前串一位；x2 = x1;//循环一次，相当于从后往前循环一天，所以要减少一天temp--;}printf("第1天一共吃了%d个桃子\n", x2);
}
int main()
{//题干要求是第10天早上想吃的时候只剩1个，说明第10天还没吃，剩下的一个是第9天吃剩下的，所以m=9func(9, 1);
}

循环法的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)

代码（通项公式法）

#include <stdio.h>
#include<math.h>
//通项公式法
long double H(int n)
{return 3.0 * pow(2, 9) * pow(0.5, (long double)n) - 2.0;
}
int main()
{printf("第1天一共吃了%1.0f个桃子\n", H(0));
}

通项公式法的时间复杂度为O(1)O(1)O(1)，而循环法的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，高下立判了家人们，论学好数学的重要性，学好数学能减少多少算法运行的时间啊！

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