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一. 学习决策树原理的顺序

二.CART分类树

(一)分类树模型结构

(二).分类树构建过程

(二).剪枝(防止过拟合）

三. CART回归树模型

四. ID3算法

五.C4.5算法

(一) ID3的缺陷

(二) C4.5打上补丁

六.决策树演进与对比

能来看算法原理的，估计都对决策树有一些初步理解了。
决策树算法原理其实非常简单，但由于网上杂文过多，往往把概念弄得非常混乱，造成原理理解困难。

本文对原理进行简单介绍与梳理。

一. 学习决策树原理的顺序

决策树算法有CART,ID3,C4.5 几种,如果把多种算法原理概念混在一起，必然很难理解。
思想起源来自于ID3，所以一般会先介绍ID3，但我建议不要从ID3入手，学习路线线最好如下安排：
理解CART分类树---->理解CART回归树--->理解ID3算法---->理解C4.5算法。

为什么先理解CART分类树
(1) matlab,python的sklearn都只实现CART算法，没有ID3,C4.5算法。
(2)CART和ID3(c4.5)是两条支线。现在人们所说的决策树，现在基本都是暗指CART，而非ID3,C4.5，所以没有必要纠结着ID3,C4.5不放。
重要的事说三遍，先理解CART,先理解CART，先理解CART，再理解ID3,C4.5。
CART更加成熟，更加合理，更加实用，更加容易理解，越不成熟，越不合理的东西越难理解。
(3)CART(classification and regression tree)望文思义就是分类与回归树，使用得更多的是分类树，而回归树是在分类树的基础上的改动成适用于回归问题。

二.CART分类树

(一)分类树模型结构

CART分类树的结构就是一棵二叉树，每个节点有一个变量与一个判断值，该变量<=值，则判为左节点，否则为右节点。
树的训练则是指构建这样一棵树，使它能够较好的预测新样本。

(二).分类树构建过程

构建过程是逐节点构建的方式,直到所有样本都分配到叶子节点，即完成树的构建。

构建树的核心问题是：
（1）节点是作为叶子，还是继续分裂（即叶子准则）。
（2）如果分裂，该选择哪个变量作为判断值，变量的阈值是多少。
（3）叶子节点的所属类别是哪个。

所以，构建树是一个while循环过程，例如一开始根节点是150个样本，则开始while循环，
如图所示，根据分裂准则，确定了变量与阈值，则可把根节点分为左右两个子节点，假设现在50个分配到左节点，100个分配到右节点。
再根据叶子准则，判断到左节点是叶子，不再分裂。右节点不是叶子，则继续把这100个样本分裂...直到所有样本都落在叶子节点。

现在，只要确定以上三个核心问题即可。
1.叶子准则
(1) 节点样本<min_samples_split则作为叶子
(2) 超过了树分枝最大深度max_depth，则作为叶子
(3) 其它类似的条件。

2.确定节点变量与阈值
分裂选择哪个变量，和阈值是多少？
这个问题极其简单，先定一个分裂收益评估函数，把所有变量和阈值的可能组合都代进去算一遍，哪个收益大，就用哪组[变量，阈值]，
怎么比较哪种分裂效果更好？主要评估子节点的清晰度。如果左节点上全是A类，那左节点就很清晰了。如果左节点上A，B两类各占50%，那就还不是很明朗。
也即是，从节点中任意抽取两个样本，这两个样本不属同一类的概率 $P=\displaystyle 1-\sum\limits _{k=1}^{K}\left ( \frac{N^{c_k}}{N} \right )^2$
（这概率的怎么来的后面会放链接）越小说明节点分得越清晰,这个概率称为基尼系数(GINI)。
分裂后有左右两个节点，取两个节点的加权概率即可

$G=\displaystyle \frac{N_L}{N} *\left [ 1-\sum\limits _{k=1}^{K}\left ( \frac{N_L^{c_k}}{N_L} \right )^2 \right ] +\frac{N_R}{N} *\left [ 1-\sum\limits _{k=1}^{K}\left ( \frac{N_R^{c_k}}{N_R} \right )^2 \right ]$

G越小，就代表分得越清晰。（如果是定义收益函数，收益函数需要越大越好，则取上式相反数）
通过比较每种分裂的GINI系数，最后取GINI系数（即在左/右节点随机抽两个样本，两个样本不属同一类的概率）最小的分裂对应的[特征-阈值] 即可。

3.叶子节点类别判定
叶子节点上的样本，哪类样本最多，叶子就属于哪一类。
在构建完树后，预测时只要判断新样本落在哪个叶子，就预测为哪一类。
至此，CART回归树的建树原理就结束了。

(二).剪枝(防止过拟合）

剪枝分为预剪枝和后剪枝，

1.预剪枝
预剪枝就是在构建树过程设定一个条件，防止节点分度分裂，好家伙，其实就是叶子准则，设严此，就是预剪枝了。

2.后剪枝
后剪枝就是在树构建完后再剪掉一些叶子节点。通常使用的是CCP（Cost Complexity Pruning）后剪枝法。
损失函数定义为树的代价+复杂度：

$L=\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{T} \frac{N_i}{N} L_i +\alpha T$

其中
$T$ ：叶子节点个数
$N$ ：所有样本个数
$N_i$ ：第 i 个叶子节点上的样本数
$L_i$ ：第i个叶子节点的损失函数（常用的有：错误占比，GINI系数，和熵。）
α ：待定系数，用于惩罚节点个数，引导模型用更少的节点。

然后根据损失函数进行剪枝，使 L最小。
后剪枝是使用者的后期操作，所以程序一般只提供一条 \alphaα的所有可能取值，与对应的叶子加权损失函数 $\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{T} \frac{N_i}{N} L_i$ 的值，供使用者自行选择α 。

具体计算方法参考《决策树后剪枝原理：CCP剪枝法》。

三. CART回归树模型

决策树用于回归
回归与分类的不同，在于回归的输出变量y为连续数值变量。
整体算法类似于分类树，关键有以下两点修改：
（1）叶子节点输出的不是类别，而是节点上所有y的均值。
（2）构树过程中节点分割评估不用基尼指数，改用平方差 $\displaystyle \sum\limits ^{N_{L}}_{i=1}\left ( \text{y}_i-\bar{\text{y}}_L \right )^2 +\sum\limits ^{N_{R}}_{i=1}\left ( \text{y}_i-\bar{\text{y}}_R \right )^2$

至此，CART回归树也就讲完了。信息熵呢？信息增益比呢？怎么没有讲？那是ID3,C4.5的概念。所以说不要混在一起~！

四. ID3算法

ID3与CART分类树的差异：
1.树结构不同：ID3决策树模型也是一棵树。输入变量必须全是枚举型。每个节点选择一个变量，按该变量所有可能取值分叉。

2.输入变量不同：CART是连续变量，用阈值切割，而ID3输入变量必须全是枚举型。按变量所有可能取值分叉。
3.分叉依据不同：ID3是全分叉，因此没有阈值一说，仅需比较不同变量的分叉质量即可。
分叉依据的是信息增益(Gain)：

$G=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{M}\dfrac{N_i}{N}\left ( \sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{N_{ik}}{N_i} \log_2\dfrac{N_{ik}}{N_i} \right ) -\sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{N_{k}}{N} \log_2\dfrac{N_{k}}{N}$

$M$ ：分叉子节点个数
$N$ ：所有子节点的总样本数（也即父节点的样本数）
$N_i$ ：第 i 个子节点上样本个数
$N_{ik}$ ：第 i 个子节点上第k类样本的个数
$N_k$ ：父节点上第 k 类样本的个数

其中 $H=\displaystyle -\sum \limits _{k=1}^{K} \dfrac{N_k}{N} \log _2 \dfrac{N_k}{N}$ 称为熵。

4.没有剪枝：对，ID3是较原始的一个算法，没有剪枝。

五.C4.5算法

C4.5就是对ID3的补充，就是对ID3打补丁

(一) ID3的缺陷

(1)变量偏好多枚举值：
ID3更偏好优先分叉枚举值多的变量。因为ID3用信息增益评估分叉质量，该评估函数会更偏好枚举值多的变量。
(如果变量A有2个枚举，B有10个枚举，肯定就偏好B了，因为B一下子把节点分叉成10个子节点，而A只分成2个子节点。分成10个子节点的确定性肯定比2个会更强些。)
(2) ID3容易过拟合。
(3) ID3不支持连续变量。
(4) 不支持数据有缺失值。

(二) C4.5打上补丁

(1) 变量偏好纠正：使用信息增益比

信息增益比：

$G_r=\dfrac{G}{H(A)}=\displaystyle \dfrac{ \sum \limits_{i=1}^{M}\dfrac{N_i}{N}\left ( \sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{N_{ik}}{N_i} \log_2\dfrac{N_{ik}}{N_i} \right ) -\sum \limits_{k=1}^{K} \dfrac{N_{k}}{N} \log_2\dfrac{N_{k}}{N}}{ \sum \limits_{k=1}^{K^{(v)}} \dfrac{N_{k}^{(v)}}{N^{(v)}} \log_2\dfrac{N_{k}^{(v)}}{N^{(v)}} }$

分子就是ID3中的信息增益，分母则是全体样本中变量v的熵
分母符号说明：
$K^{(v)}$ : 全体样本（划重点，是全体样本）变量v的枚举个数
$N^{(v)}$ : 全体样本个数。
$N_{k}^{(v)}$ ：全体样本变量v第k个枚举值的样本个数。

(2) 过拟合处理:添加剪枝
剪枝方法就是CART中所说的CCP,与CART不同的是，损失函数中节点的损失用熵函数，而不是GINI。

$L=\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{T}\left [ \dfrac{N_i}{N}H(T)\right ] + \alpha T$

(3) 连续变量处理：与CART类似。
(4)变量有缺失值的处理：很复杂和别扭。

六.决策树演进与对比

1.树结构：ID3不是二叉树,C4.5在输入是连续变量时是二叉树，CART一定是二叉树。非二叉树都可以用二叉树替代，统一用二叉树更加简单优雅。
2.分裂依据：ID3分裂时用熵，C4.5用熵增益，CART用GINI。GINI很容易理解，就是抽出两个样本不属同一类的概率。GINI没有log，计算也方便。（熵也可迁移到CART中用，但CART更偏向用GINI）。
3.特征数据类型：ID3的输入变量是枚举类型，C4.5是枚举与数值兼容，CART是数值类型。完全抛弃了枚举，是因为枚举型问题可以转化为数值类型问题。
4.缺失值支持：ID3不支持缺失值，C4.5支持缺失值，CART不支持缺失值。最后抛弃了缺失值的兼容，是缺失值处理极其复杂与不够优雅。统一在入模前把缺失问题处理，更加清晰，可控。
5.剪枝：ID3没有剪枝，C4.5有剪枝，CART有剪枝。

备注：一般软件包(python,matlab)只支持CART,不支持ID3,C4.5

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