舍入的五种写法

0. 简介

舍入是一个数学概念，一种修约规则。

在日常的生活中，我们为了精简格式，记忆方便，常常会使用四舍五入的方法来去掉零头或凑个整数来解决此类问题。

在游戏中开发中，舍入也是数值计算中重要的一环。只有使用正确的舍入规则，才能配合数值策划进行更合理的数值设计与计算，让玩家在尽量无感的情况下也能认同游戏数值的合理性。

然而在使用Unity进行开发时，我们却发现Unity中Range的结果与日常使用的四舍五入结果并不相同。

这是因为除了四舍五入的舍入方法外还有其他不同的舍入规则、在数学中也有其独特的定义。

本文将从Unity引擎使用的C#语言入手，讲解舍入的5种写法。

0.1 舍入定义

在对位数较多的数进行计算时，为了方便或由于受到计算工具的限制，需要用位数较少的数来代替（有时按照精确度的要求也不必对全部数字进行计算）。

于是，就要按一定的规则去掉一个数的某个有效数字以后的数字，并对剩余部分进行调整，使得尽可能接近于原来那个数。这种过程称为舍入。

0.2 舍入误差定义

舍入误差是指运算得到的近似值和精确值之间的差异。

比如当用有限位数的浮点数来表示实数的时候（理论上存在无限位数的浮点数）就会产生舍入误差。

舍入误差是量化误差的一种形式。

如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差，在某些情况下，误差会随着运算次数增加而积累得很大，最终得出没有意义的运算结果。

舍入误差举例：

增加数字位数可以减少可能会产生的舍入误差，但是位数是有限的，在表示无限浮点数时仍然会产生误差。

在用常规方法表示浮点数的情况下，这种误差是不可避免的，但是可以通过设置警戒位来减小。

多步舍入会增加舍入误差，例如数字9.945309在输入时被舍入到小数点后两位（9.95），显示时再舍入到小数点后一位（10.0），舍入误差是0.054691。如果原来的数只经过一步舍入到小数点后一位（9.9），舍入误差仅为0.045309。

1 就近舍入

舍入到最接近的，指定精度的原始数字。

对于正数：

如果下一位数字从 0 到 4，则最接近的数字为负无穷大。
如果下一位数字从 6 到 9，则最接近的数字是正无穷大。

对于负数：

如果下一个数字从 0 到 4，则最接近的数字为正无穷大。
如果下一位数字从 6 到 9，则最接近的数字为负无穷大。

那么真正有争议的数字就只有5了，所以就近舍入的两种舍入规则，就是针对对数字为5时制定的舍入规则。

1.1 远零舍入 Away From Zero

1.1.1 舍入规则

规则：当数字在两个数字之间的中间时，它将舍入到离零的最接近的数字。

远零舍入就是我们所熟悉的“四舍五入”

1.2 近偶舍入 To Even

1.2.1 舍入规则

规则：当数字在两个数字之间的中间时，它将舍入到最接近的偶数。

近偶舍入也叫做"银行家舍入"，或者叫"四舍六入五留双"。

提到四舍五入，处在我们这个年龄层的人应该都很清楚，因为我们当时的小学教育灌输的就是四舍五入。但是如果提到银行家舍入，也许很多朋友会一下子愣住。银行家舍入，英文名为Banker’s round，它实现的舍入效果是“四舍六入五取偶”。

银行家舍入是IEEE规定的小数舍入标准之一，也是IEEE目前规定中最优秀的舍入方法，因此所有符合 IEEE 标准的语言都应该实现这种算法，.NET平台与Unity也不例外。

1.2.2 近偶舍入和远零舍入比较

首先我们比较它们的规则：

四舍五入
- 当舍去位的数值大于等于5时，在舍去该位的同时向前位进一
- 当舍去位的数值小于5时，则直接舍去该位
近偶舍入
所谓银行家舍入法，其实质是一种四舍六入五取偶（又称四舍六入五留双）法。
其规则是：
- 当舍去位的数值小于5时，直接舍去该位；
- 当舍去位的数值大于等于6时，在舍去该位的同时向前位进一
- 当舍去位的数值等于5时
  - 如果前位数值为奇，则在舍去该位的同时向前位进一
  - 如果前位数值为偶，则直接舍去该位。

例如：我们对2.335，2.345，2.364，2.366，2.367分别进行四舍五入和银行家舍入

原始数据	四舍五入	近偶舍入
2.335	2.34	2.34
2.345	2.35	2.34
2.364	2.36	2.36
2.366	2.37	2.37
2.367	2.37	2.37

怎么比较它们孰优孰劣呢？

对于1，2，3，4，5，6，7，8，9一系列数，它们出现的随机可能性几乎一样的。

所以如果用四舍五入进行舍取，那么5左右两面奇偶的平衡性就不好，5到9都进位，而1到4都舍去。

如果利用银行家算法，1到4都舍去，6到9都进位，各自四位，然后把5分成两种情况，前位如果是奇数就取偶，如果是偶数就保留，我们发现5前面和5后面奇偶数的个数刚好一样。

当数值精度越大，舍5个概率就越低，无限趋近于0，也就是说，当数值精度越高，该算法越像“四舍五入”

现实情况就是数值的精度不可能无限大，存款利息率一般为百分之零点几，而数值精度一般4位，5后存在非0数的概率相对较小，所以趋近于1/2舍5，1/2进5

所以与四舍五入比较，此时的银行家舍入的公平性更强。

资本家小案例：

我们知道银行的盈利渠道主要是利息差，从储户手里收拢资金，然后放贷出去，其间的利息差额便是所获得的利润。对一个银行来说，对付给储户的利息的计算非常频繁。

场景介绍完毕，我们回过头来看四舍五入，小于5的数字被舍去，大于等于5的数字进位加一，由于所有位上的数字都是自然计算出来的，按照概率计算可知，被舍入的数字均匀分布在0到9之间，下面以10笔存款利息计算作为模型，以银行家的身份来思考这个算法：

（1）四舍：舍弃的数值：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004，因为是舍弃，对银行家来说，就是不用付款给储户的，那每舍弃一个数字就会赚取相应的金额：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004。

（2）五入：进位的数值：0.005、0.006、0.007、0.008、0.009，因为是进位，对银行家来说，每进一位就会多付款给储户，也就是亏损了，那亏损部分就是其对应的10进制补数：0.005、0.004、0.003、0.002、0.001

因为舍弃和进位的数字是在0到9之间均匀分布的，所以对于银行家来说，每10笔存款的利息因采用四舍五入而获得的盈利是：

0.000 + 0.001 + 0.002 + 0.003 + 0.004 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001 = -0.005

也就是说，每10笔的利息计算中就亏损0.005元，即每笔利息计算损失0.0005元

这个算法误差是由美国银行家发现的，并且对此提出了一个修正算法，就叫作银行家舍入

“银行家舍入”是IEEE754标准的推荐舍入标准。

因此所有符合 IEEE标准的语言都是采用这一算法的，Unity与C#也不例外。

这一方式跟通常的四舍五入相比，平均数方面更能保持原有数据的特性。

2 定向舍入

定向舍入则不在乎精确位的下一位的数字是什么，它直接规定向某个方向进行舍入。

也就是说定向舍入的区别主要就是在舍入方向上。

数轴上有三个方向分别是：

+∞ 正无穷
0 零
-∞ 负无穷

因此定向舍入也有三种规则，分别对应这三个方向。

2.1 向上舍入 To Positive Infinity

规则：向上定向舍入，结果最接近且不小于无限精确结果

2.2 向下舍入 To Negative Infinity

规则：向下定向舍入，结果最接近且不大于无限精确结果。

2.3 向零舍入 To Zero

规则：向零舍入的策略，结果最接近且数量级不大于无限精确结果。

3. 整理总结表

舍入方法	舍入规则	舍入特点	适用场景	精确度	舍入案例
远零舍入 Away From Zero	当数字在两个数字之间的中间时它将舍入到离零的最接近的数字	国内约定俗成的四舍五入方法	需要迎合国内用户理解的舍入场景 (玩家可感的数据取舍)	一般	2.4≈2 2.5≈3 -2.4≈-2 -2.5≈-3
近偶舍入 To Even	当数字在两个数字之间的中间时它将舍入到最接近的偶数	外国，Unity使用的舍入方法大量数据下比远零舍入分布的更加均匀，更科学	各种需要精确取舍的数据均可使用 (各种游戏数值公式计算)	高	2.4≈2 2.5≈2 -2.4≈-2 -2.5≈-2 3.4≈3 3.5≈4 -3.4≈-3 -3.5≈-4
向上舍入 To Positive Infinity	向上定向舍入	往往大于精确结果	需要取舍且只能往大估的情景	低	2.4≈3 2.5≈3 -2.4≈-2 -2.5≈-2
向下舍入 To Negative Infinity	向下定向舍入	往往小于精确结果	需要取舍且只能往小估的情景	低	2.4≈2 2.5≈2 -2.4≈-3 -2.5≈-3
向零舍入 To Zero	向零舍入的策略	往往数量级不会大于精确结果	只在乎精确位数之前数据的情景	低	2.4≈2 2.5≈2 -2.4≈-2 -2.5≈-2

4. 在Unity/C#中使用这五种舍入

在使用Unity与C#进行游戏开发的过程中，一般会使用Round这个类进行舍入操作。而这个类实际上是来自不同命名空间的两个类：

一个来自C# 的 System.Math.Round，另一个则来自Unity引擎的UnityEngine.Mathf.Round。

4.1 UnityEngine.Mathf.Round

我们先进Unity的看一下，反编译结果如下：

可以看到Unity的Mathf中只是把C#的代码封装了一层，本质上还是C# 的 Math。

而且Mathf.Round只能取整，并不能按精度取舍。

4.2 System.Math.Round

再来看看C#的Round，反编译结果如下:

官方文档对其的说明如下：

可以看出C#的Round就有更多的可操作空间了，其中的参数：MidpointRounding，就是我们前面说到的五种舍入规则的枚举。

而不传这个参数的方法将默认使用近偶舍入的舍入规则。

也就是说使用Unity Mathf.Round进行取整会默认使用近偶舍入规则。

这也就解释了最开始我们的疑问，为什么有时使用Unity进行取整会和四舍五入的结果不同。

MidpointRounding枚举的官方文档说明如下：

代码案例：

decimal result;// 正数情况result = Math.Round(3.45m, 1, MidpointRounding.ToEven);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.45m}, 1, MidpointRounding.ToEven)");
result = Math.Round(3.45m, 1, MidpointRounding.AwayFromZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.45m}, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)");
result = Math.Round(3.47m, 1, MidpointRounding.ToZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.47m}, 1, MidpointRounding.ToZero)\n");// 负数情况result = Math.Round(-3.45m, 1, MidpointRounding.ToEven);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.45m}, 1, MidpointRounding.ToEven)");
result = Math.Round(-3.45m, 1, MidpointRounding.AwayFromZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.45m}, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)");
result = Math.Round(-3.47m, 1, MidpointRounding.ToZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.47m}, 1, MidpointRounding.ToZero)\n");/*
结果输出：3.4 = Math.Round(3.45, 1, MidpointRounding.ToEven)
3.5 = Math.Round(3.45, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)
3.4 = Math.Round(3.47, 1, MidpointRounding.ToZero)-3.4 = Math.Round(-3.45, 1, MidpointRounding.ToEven)
-3.5 = Math.Round(-3.45, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)
-3.4 = Math.Round(-3.47, 1, MidpointRounding.ToZero)
*/

5. 参考文献

MidpointRounding 枚举 (System) | Microsoft Docs

Math.Round 方法 (System) | Microsoft Docs

舍入_百度百科 (baidu.com)

B站同步讲解视频:
https://www.bilibili.com/video/BV1tV4y1p7aZ/

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