P5516 [MtOI2019] 数学期望 + 高斯消元

题意

传送门 P5516 [MtOI2019]小铃的烦恼

题解

令所有的书魔法属性都一样时为终止状态，考虑统计各个终止状态的贡献。固定终止状态的属性值 a a a，那么只关注属性为 a a a 与属性不为 a a a 的书籍即可。 f k f_k fk 代表当前属性为 a a a 的书籍有 k k k 本，令
p = k ( n − k ) n ( n − 1 ) p = \frac{k(n-k)}{n(n-1)} p=n(n−1)k(n−k) 考虑任意一步状态转移，则 f k f_{k} fk 向 f k − 1 , f k + 1 f_{k-1}, f_{k+1} fk−1,fk+1 转移概率相同。其中 f n = 0 f_n = 0 fn=0，为了仅考虑 f k → f n f_k\rightarrow f_n fk→fn 的贡献，令 f 0 = 0 f_0 = 0 f0=0。那么
f k = p ( f k − 1 + f k + 1 ) + ( 1 − 2 p ) f k + k n f_k = p(f_{k-1} + f_{k+1}) + (1-2p)f_k + \frac{k}{n} fk=p(fk−1+fk+1)+(1−2p)fk+nk 最后一项代表 f k → f n f_k\rightarrow f_n fk→fn 的概率，问题等价于 x x x 轴上某点 k k k 向左右移动的概率相同，求不抵达 0 0 0 的情况下抵达 n n n 的状态。

此时可以列出 n n n 个 n n n 元一次方程。系数矩阵只有主对角线与其上下两条对角线非零，那么可以每一行 i i i 只对 i + 1 i+1 i+1 行消元，最后回代求解。总时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
const int MAXN = 2E3 + 5;
string S;
int cnt[128];
double B[MAXN][MAXN], f[MAXN];int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> S;int n = S.size();B[0][0] = 1, B[n][n] = 1;for (int k = 1; k < n; ++k){B[k][k - 1] = -1;B[k][k] = 2;B[k][k + 1] = -1;B[k][n + 1] = 1.0 * (n - 1) / (n - k);}for (int k = 0; k < n; ++k){B[k][k + 1] /= B[k][k];B[k][n + 1] /= B[k][k];B[k + 1][k + 1] -= B[k + 1][k] * B[k][k + 1];B[k + 1][n + 1] -= B[k + 1][k] * B[k][n + 1];}f[n] = B[n][n + 1];for (int k = n - 1; k >= 0; --k)f[k] = B[k][n + 1] - B[k][k + 1] * f[k + 1];double res = 0;for (int i = 0; i < n; ++i)++cnt[S[i]];for (int i = 0; i < 128; ++i)res += f[cnt[i]];cout << fixed << setprecision(1) << res << '\n';return 0;
}

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