一文看懂MPC百万富翁问题的两种解法：CG+OT不经意传输解法或者RSA密码学解法

MPC的数学描述：
有n个参与者P1,P2，…Pn，要以一种安全的方式共同计算一个函数，这里的安全是指输出结果的正确性和输入信息、输出信息的保密性。具体地讲，每个参与者P1，有一个自己的保密输入信息X1，n个参与者要共同计算一个函数f(X1,X2, … ,Xn)=(Y1,Y2, … ,Yn),计算结束时，每个参与者Pi只能了解Yi,不能了解其他方的任何信息

MPC的特点：
安全多方计算理论主要研究参与者间 “协同计算” 及 “隐私信息保护” 问题，其特点包括
1、输入隐私性
2、计算正确性
3、去中心化等

MPC的安全挑战模型：
包括半诚实敌手模型和恶意敌手模型。市场大部分场景满足半诚实敌手模型。
半诚实敌手模型：计算方存在获取其他计算方原始数据的需求，但仍按照计算协议执行。半诚实关系即参与方之间有一定的信任关系，适合机构之间的数据计算；
恶意敌手模型：参与方根本就不按照计算协议执行计算过程。参与方可采用任何（恶意）方式与对方通信，且没有任何信任关系。结果可能是协议执行不成功，双方得不到任何数据；或者协议执行成功，双方仅知道计算结果。更多适用于个人之间、或者个人与机构之间的数据计算。

MPC技术框架图：

当一个MPC计算任务发起时，枢纽节点传输网络及信令控制每个数据持有方可发起协同计算任务。
通过枢纽节点进行路由寻址，选择相似数据类型的其余数据持有方进行安全的协同计算。
参与协同计算的多个数据持有方的MPC节点根据计算逻辑，从本地数据库中查询所需数据，共同就MPC计算任务在数据流间进行协同计算。
在保证输入隐私性的前提下，各方得到正确的数据反馈，整个过程中本地数据没有泄露给其他任何参与方。

MPC与区块链的比较：

MPC与区块链技术的结合：
区块链技术发展至今，特别是对于共有链而言，面临着两大困扰：
一、是公开数据带来的隐私问题；
二、是链上无法进行高效计算处理的性能问题。

隐私问题不但包括区块链上记录的交易信息的隐私，还包括区块链上记录以及传递的其他数据的隐私，这一点在大数据时代尤为重要。
而高性能的计算一直都是区块链发展的一个瓶颈，在公有网络中，大量节点需要全部对计算任务进行处理，以保证计算任务处理结果的准确性和不可修改性。但这样做造成了严重的资源浪费和低效，同时，为了取得去中心化的效果，搭建节点的要求又不能太高，这一点又进一步影响了单个节点处理任务的能力。

这时候，安全多方计算的输入隐私性、计算正确性、去中心化等优点就可以很好地帮助解决这些问题。

基于区块链项目的MPC项目示例：
1.iCube——全球首个安全多方计算区块链金融项目
2.点融
3.Defi

MPC的关键技术：

参与方个数区分，可分为两方计算（two party computation，简称 2PC）和多方计算（multi-party computation）。 2PC：核心是用了混淆电路（Garbled Circuit，简称GC）和不经意传输（Oblivious
Transfer）这两种密码学技术；一方将需要计算的逻辑转换为布尔电路，再将布尔电路中的每一个门进行加密；
在完成该操作后，该参与方将加密电路以及与其输入相关的标签发送给另一参与方，而另一方无法从标签中反推输入的信息；
另一方（作为接收方）通过不经意传输按照其输入选取标签，并在此基础上对加密电路进行解密获取计算结果。
计算场景区分，可分为特定场景和通用场景。特定场景是指针对特定的计算逻辑，例如比较大小，确定双方交集等，具体场景可以采用多种不同的密码学技术设计协议。
通用场景是指安全多方协议的设计要具有完备性，可以理论上支持任何计算场景，目前采用的方法主要是混淆电路，不经意传输以及同态加密。

MPC的应用范围：
不论是在全球范围内流动的资源、货物、资本、技术、人、数据或是观念，还是由于各种现实世界摩擦造成的冲突、监管和制约等等，都在影响着各方对于经济、文化、教育、医疗、公共管理等各行各业信息的判断和使用。
1.金融业
2.制造业
3.医疗业
4.电子政务

MPC的优势：
拓展了传统分布式计算以及信息安全范畴，为网络协作计算提供了一种新的计算模式，对解决网络环境下的信息安全具有重要价值。利用安全多方计算协议，一方面可以充分实现数据持有节点间互联合作，另一方面又可以保证秘密的安全性。

百万富翁问题：
两个富翁，分别为Alice和Bob。他们自己都清楚自己有几百万财产，也即，他们心里清楚 1～10中的一个数（代表自己百万级的财富）；他们想知道到底谁的数更大一些。
这里假定：
· 两人都值得信任，不会作假
· 两人都希望诚实地比较出谁更服务（即谁的数更大）
· 两人又都希望知道对方财产到底是多少，如果可能的话，拿到具体数字最好了
· 其实这里假定的是一个安全多方计算的模型 - 半诚实对手模型，即计算方存在获取其他计算方原始数据的需求，但仍然按照计算协议执行。
（另外有恶意敌手模型，在这种模型中，参与方可以造假，即不按照计算协议执行计算过程。）

解决方案一：不经意传输
Alice找10个一模一样的箱子，按照1～10的顺序摆好，并按照自己的财富值分别往里面放入苹果梨和香蕉，具体放法为：如果序号小于自己的财富之，放入苹果，相等，则放入梨，大于自己的财富值，放入香蕉；把10个盒子都叫上锁；
并叫Bob过来（或者寄给Bob）Bob根据自己的财富值对相应的箱子再加一把锁。然后把其他所有箱子销毁。并把这个选择的箱子送给Alice。
Alice看到送回来的箱子，但他不知道Bob选择的是第几个箱子，因为每个箱子都是一样的。
Alice、Bob分别开锁，看里面是什么水果：
· 如果是苹果，Alice比Bob富有；
· 如果是梨，两人一样有钱
· 如果是香蕉，Bob比Alice富有
（此种解决方案前提是双方都是可信的，双方会遵守协议，所以这是一个半诚实对手模型。如果有一方造假，那么结果就不可信了。）

2PC半诚实模型：

1、先对输入数据做预处理。
　　遵循原则：1、尽量少的数据输入；2、尽量多的数据预处理
——数据量太大时会大幅降低算法执行效率。
2、计算逻辑转化为布尔电路。
　　遵循原则：尽量简单的计算逻辑
——由于MPC是计算密集型和通信密集型算法，若计算逻辑很复杂，会对执行效率产生很大影响。
转化方式：手动/电路编译器Frutta
3、将输入的布尔电路做GC和OT算法（详细在下面叙述），得到输出结果。

GC+OT的两方计算基本框架：

解决方案二：密码学

假设富翁王有i亿资产，李有j亿资产。王选取一个公钥，使得李可以传递加密的信息。
首先，李选取一个随机的大整数x，把x用王的公钥加密，得到密文K。李发送k-j给王。
王收到密文c=K-j之后，对c+1，c+2，…，c+10进行解密，得到十个数字。再选取一个适当大小的素数p，把这十个数字除以p的余数记作d1，…，d10。注意：这十个数字看起来应该是完全随机的，关键是等式modp成立。
最后，王对这一串数字作如下操作：前面i个数不动，后面的数字每个加一，然后发回给李。
这样一通复杂的操作之后，李检查第 j个数字。如果等于x mod p 的话，说明这个数字没有被加一，所以 i >= j. 反之，则 i < j。

【注】公钥的生成参考RSA算法

【附】密码学算法解析

import math
import random# 百万富翁问题实现
# 自己生成公钥私钥并解密加密# 获取小于等于指定数的素数数组
def get_prime_arr(max):prime_array = []for i in range(2, max):if is_prime(i):prime_array.append(i)return prime_array# 判断是否为素数
def is_prime(num):if num == 1:raise Exception('1既不是素数也不是合数')for i in range(2, math.floor(math.sqrt(num)) + 1):if num % i == 0:# print("当前数%s为非素数,其有因子%s" % (str(num), str(i)))return Falsereturn True# 找出一个指定范围内与n互质的整数e
def find_pub_key(n, max_num):while True:# 这里是随机获取保证随机性e = random.randint(1, max_num)if gcd(e, n) == 1:breakreturn e# 求两个数的最大公约数
def gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)# 根据e*d mod s = 1,找出d
def find_pri_key(e, s):for d in range(100000000):  # 随机太难找，就按顺序找到d,range里的数字随意x = (e * d) % sif x == 1:return d# 生成公钥和私钥
def build_key():prime_arr = get_prime_arr(100)p = random.choice(prime_arr)# 保证p和q不为同一个数while True:q = random.choice(prime_arr)if p != q:breakprint("随机生成两个素数p和q. p=", p, " q=", q)n = p * qs = (p - 1) * (q - 1)e = find_pub_key(s, 100)print("根据e和(p-1)*(q-1)互质得到: e=", e)d = find_pri_key(e, s)print("根据 e*d 模 (p-1)*(q-1) 等于 1 得到 d=", d)print("公钥:   n=", n, "  e=", e)print("私钥:   n=", n, "  d=", d)return n, e, d# 加密
def rsa_encrypt(content, ned):# 密文B = 明文A的e次方 模 n， ned为公钥# content就是明文A，ned【1】是e， ned【0】是nB = pow(content, ned[1]) % ned[0]return B# 解密
def rsa_decrypt(encrypt_result, ned):# 明文C = 密文B的d次方 模 n， ned为私钥匙# encrypt_result就是密文, ned【1】是d, ned【0】是nC = pow(encrypt_result, ned[1]) % ned[0]return Cif __name__ == '__main__':pbvk = build_key()pbk = (pbvk[0], pbvk[1])  # 公钥 (n,e)pvk = (pbvk[0], pbvk[2])  # 私钥 (n,d)# 生成两个亿万富翁i = random.randint(1, 10)j = random.randint(1, 10)print("==============================================")print("Alice有i = %s亿,Bob有j = %s亿" % (i, j))x = random.randint(50, pbk[0]-1)  # assert(x < N) | N=p*qprint("随机选取的大整数x: %s" % x)K = rsa_encrypt(x, pbk)print("大整数加密后得密文K: %s" % K)c = K - jprint("Alice收到数字c: %s" % c)c_list = []for k in range(1, 11):t = rsa_decrypt(c + k, pvk)c_list.append(t)print("对c+1到c+10进行解密: %s" % c_list)# 选取合适大小的p,这里根据感觉写了100以内的随机数,生成的序列的值也要求小于100# 这个p是该算法的精华,在实际中选取p的策略要考虑到安全性和性能的因素d_list = []p = random.randint(30, x)  # assert(p<x)for k in range(0, 10):d_list.append(c_list[k] % p)print("p的值为: %s" % p)print("除以p后的余数为: %s" % d_list)d_list[i-1] += 1for k in range(i, 10):d_list[k] += 2print("前i-1位数字不动,第i位数字+1,后面数字+2后: %s" % d_list)print("第j个数字为: %s" % d_list[j - 1])print("x mod p为: %s" % (x % p))if d_list[j - 1] == x % p:print("i>j,即Alice比Bob有钱。")if i - j >= 0:print("验证成功")else:print("代码存在错误")elif d_list[j - 1] == (x%p)+1:print("i=j,即Alice和Bob一样有钱。")else:print("i<j,即Bob比Alice有钱")if i - j < 0:print("验证成功")else:print("代码存在错误")

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