【SDOI 2014】数表

题意

　　https://www.luogu.org/problem/P3312

题解

　　显然就是求 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sigma_1(\gcd{(i,j)})\times [gcd(i,j)\le a]$（$\sigma_1(x)$ 表示求 $x$ 的所有约数之和），看到 $gcd$ 就知道是莫比乌斯反演基础题吧

　　如果不考虑 $a$ 的限制，这就是推一遍莫反的模板题，那先不考虑

　　原式变为$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sigma_1(\gcd{(i,j)})$$

　　根据套路枚举约数 $$\sum_{d=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sigma_1(d)\times [gcd(i,j)=d]$$

　　把 $\sigma_1$ 挪到前面，并用经典公式 $\sum_{d|n} \mu{(d)} = [n=1]$ 对最后的一个 sigma 反演 $$\sum_{d=1}^{n} \sigma_1(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{d|\gcd{(i,j)}} \mu(d)$$

　　$$\sum_{d=1}^{n} \sigma_1(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{d|i, d|j} \mu(d)$$

　　把 $x$ 挪到前面

转载于:https://www.cnblogs.com/scx2015noip-as-php/p/luogu3312.html

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