2019-2020-2 大学物理Ⅱ

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文章目录

2019-2020-2 大学物理Ⅱ
- 一、填空
- 三、简答题（定律或定理及表达式）
- 四、计算

一、填空

1、电场中电势的定义式：Up=εpq0=∫p+∞E⃗dl⃗\large U_p=\frac{\varepsilon _p}{q_0}=\int_{p}^{+\infty} \vec{E}\vec{{dl}}Up=q0εp=∫p+∞Edl，描述：电荷在电场中某点的电势能与它的电量的比值，在量值上等于单位正电荷放在该点时的电势能

2、点电荷电场强度分布表达式：E⃗=F⃗q0=14πε0qr2er⃗\large \vec{E} =\frac{\vec{F} }{q_0} =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 }\frac{q}{r^2}\vec{e_r}E=q0F=4πε01r2qer，国际单位：V/mV/mV/m

3、点电荷的电势分布表达式：Up=εpq0=∫p+∞E⃗dl⃗=∫r+∞E⃗dr⃗=q4πε0∫r+∞1r2dr=14πε0qr\large U_p=\frac{\varepsilon _p}{q_0}=\int_{p}^{+\infty} \vec{E}\vec{{dl}}=\int_{r}^{+\infty }\vec{E}\vec{dr}=\frac{q}{4\pi\varepsilon _0}\int_{r}^{+\infty}\frac{1}{r^2}dr=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{q}{r}Up=q0εp=∫p+∞Edl=∫r+∞Edr=4πε0q∫r+∞r21dr=4πε01rq

单位：VVV(伏特)

4、静电场中电场强度的定义：单位正电荷在该点所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该点处所受电场力的方向一致，表达式为E=F⃗q0E=\frac{\vec{F}}{q_0}E=q0F，单位：V/mV/mV/m

5、处于静电平衡的导体是等势体，导体表面是等势面，导体内部场强处处为零，导体外表面场强垂直于导体表面

6、在各向同性均匀的线性电介质中，D⃗=ε0εrE⃗=εE⃗\large \vec{D}=\varepsilon _0\varepsilon _r\vec{E}=\varepsilon \vec{E}D=ε0εrE=εE，其中D⃗\vec{D}D叫做电位移矢量，εr\varepsilon _rεr是介质的相对电容率，ε\varepsilonε是介质的绝对电容率

7、在各向同性均匀的线性磁介质中，磁场强度矢量与磁感应强度矢量的关系式为B⃗=μ0μrH⃗=μH⃗\vec{B}=\mu _0\mu_r\vec{H}=\mu\vec{H}B=μ0μrH=μH，磁介质的相对磁导率μr\mu _rμr

8、电容器电容的定义式：C=QVC=\frac{Q}{V}C=VQ，平行板电容器的电容表达式：C=QV=ε0εrSd=εSd\large C=\frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon _0\varepsilon _rS}{d}=\frac{\varepsilon S}{d}C=VQ=dε0εrS=dεS

9、自感线圈的磁链数与其电流强度的表达式：ψm=LI\psi _m=LIψm=LI，其中LLL为该线圈的自感系数

10、电容器的储能与其电容及所带电量的关系为We=12Q2C\large W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}We=21CQ2，有电介质时电场的能量密度We=12ε0εrE2\large W_e=\frac{1}{2}\varepsilon _0\varepsilon _rE^2We=21ε0εrE2

11、自感线圈中的能量与其载有的电流及其自感系数的表达式为Wm=12LI2\large W_m=\frac{1}{2}LI^2Wm=21LI2，有磁介质时磁场的能量密度表达式为Wm=12μ0μrH2=12μH2=12B2μ\large W_m=\frac{1}{2}\mu_0\mu_rH^2=\frac{1}{2}\mu H^2=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu}Wm=21μ0μrH2=21μH2=21μB2

12、运动电荷所受的洛伦兹力矢量表达式F⃗=qV⃗×B⃗\large \vec{F}=q\vec{V}×\vec{B}F=qV×B，电流元所受的安培力表达式dF⃗=nSdlqV⃗×B⃗=Idl⃗×B⃗\large d\vec{F}=nSdlq\vec{V}×\vec{B}=I\vec{dl}×\vec{B}dF=nSdlqV×B=Idl×B

13、安培定律描述电流元所受磁场力，其表达式（见12题），其中I=qnsvI=qnsvI=qnsv，nnn是自由电荷的数密度，vvv是自由电荷的平均速率

14、感应电动势分动生电动势和感生电动势，动生电动势主要是由于闭合回路面与磁场的夹角或面积改变，使回路面积的磁通量改变引起的，感生电动势主要是由于磁场大小随时间改变，使回路面积的磁通量改变引起的

15、理想气体状态方程PV=MμRTPV=\frac{M}{\mu}RTPV=μMRT，其压强PPP等于nmvx2ˉnm\bar{v_x^2}nmvx2ˉ,若分子的运动的平均平动动能为ε\varepsilonε，则理想气体压强P=23nε⃗P=\frac{2}{3}n\vec{\varepsilon}P=32nε，也可写为P=nKTP=nKTP=nKT

16、能量均分定理指在温度为TTT的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，且等于12kT\frac{1}{2}kT21kT，质量为MMM的某单原子分子理想气体的总动能为Mμ32RT\frac{M}{\mu}\frac{3}{2}RTμM23RT，1molmolmol某双原子分子理想气体的总动能为52RT\frac{5}{2}RT25RT。质量为MMM的某种理想气体热力学能为Mμi2RT\frac{M}{\mu}\frac{i}{2}RTμM2iRT，iii为该理想气体分子的自由度

17、热力学第一定律的微分表达式是dQ=dU+dWdQ=dU+dWdQ=dU+dW

卡诺循环效率的表达式为η=1−T2T1\eta =1-\frac{T_2}{T_1}η=1−T1T2

18、静电场的环路定理：∮lE⃗⋅dl⃗=0\oint_{l}^{}\vec{E}·\vec{dl}=0∮lE⋅dl=0

稳恒磁场的安培环路定理∮lB⃗⋅dl⃗=μ0∑i=1NIi\oint_{l}^{} \vec{B}·\vec{dl}=\mu_0\sum_{i=1}^{N}I_i∮lB⋅dl=μ0∑i=1NIi

三、简答题（定律或定理及表达式）

1、毕奥—萨法尔定律：

任一电流微元Idl⃗I\vec{dl}Idl在真空中任一点PPP处产生的磁感应强度dB⃗d\vec{B}dB的大小与电流微元的大小Idl⃗I\vec{dl}Idl成正比，与电流微元到PPP点的矢径rrr之间的夹角θ\thetaθ的正弦成正比，与r2r^2r2成反比，dB⃗d\vec{B}dB的方向为 dl⃗×r⃗d\vec{l}×\vec{r}dl×r所决定的方向

dB⃗=μ04πIdl⃗×r⃗r3=μ04πIdlsinθr2\Large d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}×\vec{r}}{r^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\theta }{r^2}dB=4πμ0r3Idl×r=4πμ0r2Idlsinθ

2、库仑定律及其表达式

在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小和它们电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力方向沿着它们之间的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸

F21⃗=14πε0q1q2r122e12⃗\Large \vec{F_{21}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\vec{e_{12}}F21=4πε01r122q1q2e12

3、电场强度的定义、实质及点电荷场强分布

单位正电荷在该点所受的电场力的大小

实质：电场强度实质反映了电场本身的性质。

E⃗=F⃗q0=14πε0qr2er⃗\Large \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\frac{q}{r^2}\vec{e_r}E=q0F=4πε01r2qer

4、电势的定义、实质及点电荷电势分布表达式

电荷在电场中某点的电势能与它的电量的比值，在量值上等于单位正电荷放在该点时的电势能

Up=εpq0=∫p+∞E⃗⋅dl⃗\Large U_p=\frac{\varepsilon _p}{q_0}=\int_{p}^{+\infty }\vec{E}·d\vec{l}Up=q0εp=∫p+∞E⋅dl

5、静电场的高斯定理

在真空中，通过任意一个闭合曲面SSS的电通量ψe\psi _eψe，等于该面所包围的所有电荷电量的代数和∑i=1Nqi\sum_{i=1}^{N}q_i∑i=1Nqi除以ε0\varepsilon _0ε0

，与闭合曲面外的电荷无关

∮∮sE⃗⋅dS=1ε0∑i=1Nqi\Large \oint \oint _s\vec{E}·dS=\frac{1}{\varepsilon_0 }\sum_{i=1}^{N} q_i∮∮sE⋅dS=ε01∑i=1Nqi

6、稳恒磁场的高斯定理

通过任一闭合曲面的总磁通量必为0，∮∮SB⋅dS=0\oint \oint _S B·dS=0∮∮SB⋅dS=0

7、稳恒磁场的安培环路定理

磁感应强度BBB沿任意闭合回路的线积分，等于该闭合回路所包围的各传导电流强度的μ0\mu_0μ0倍

8、（磁场中）安培定律及其表达式

描述电流元所受磁场力，dF⃗=nSdlqv⃗×B⃗=Idl⃗×B⃗d\vec{F}=nSdlq\vec{v}×\vec{B}=Id\vec{l}×\vec{B}dF=nSdlqv×B=Idl×B

9、法拉第电磁感应定律

不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比，ε=−dϕmdt\varepsilon =-\frac{d\phi _m}{dt}ε=−dtdϕm

10、电磁感应定律的普遍形式及其意义

∮E⃗⋅dl⃗=−∯S∂B∂tdS\LARGE \oint \vec{E}·d\vec{l}=-\oiint_S \frac{\partial B}{\partial t}dS∮E⋅dl=−∬S∂t∂BdS

四、计算

1、半径为R的无限长均匀带电圆柱体，其电荷体密度为ρ\rhoρ，求其电场强度分布

解析：由高斯定理，∮E⃗⋅dS=E∮dS=E⋅2πrh=1ε0∑q内\Large \oint \vec{E}·dS=E\oint dS=E·2\pi rh=\frac{1}{\varepsilon_0 }\sum {}{}{q_内}∮E⋅dS=E∮dS=E⋅2πrh=ε01∑q内

可以得到E⃗=∑q内2πε0rh\Large \vec{E}=\frac{\sum {}{}{q_内}}{2\pi\varepsilon_0rh }E=2πε0rh∑q内

下面做高斯面，分情况：①r<Rr<Rr<R时，∑q内=ρπr2h\sum{}{}{q_内}=\rho \pi r^2h∑q内=ρπr2h，代入EEE的表达式得E=ρr2ε0E=\frac{\rho r}{2\varepsilon _0}E=2ε0ρr

②r>Rr>Rr>R时，∑q内=ρπR2h\sum{q_内}{}{=\rho\pi R^2h}∑q内=ρπR2h，E=ρR22ε0rE=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon _0r}E=2ε0rρR2

2、用场强积分法求电荷QQQ均匀分布在半径为RRR的球体内时，球内一点PPP处的电势(并作图)

解析：由高斯定理∮E⃗⋅dS=E⋅4πr2=1ε0∑q内\Large \oint \vec{E}·dS=E·4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0 }\sum{q_内}∮E⋅dS=E⋅4πr2=ε01∑q内

得到E=∑q内4πε0r2\Large E=\frac{\sum{q_内}{}}{4\pi\varepsilon _0r^2}E=4πε0r2∑q内

由题目可以知道，球的体电荷密度为σ=Q43πR3=3Q4πR3\Large \sigma=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}σ=34πR3Q=4πR33Q

下面分情况讨论场强：①r<Rr<Rr<R，∑q内=σ⋅43πr3=Qr3R3\Large \sum{q_内}{}=\sigma·\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{Qr^3}{R^3}∑q内=σ⋅34πr3=R3Qr3

E1=Qr3R34πε0r2=Qr4πε0R3\Large E_1=\frac{\frac{Qr^3}{R^3}}{4\pi \varepsilon _0r^2}=\frac{Qr}{4\pi \varepsilon _0R^3}E1=4πε0r2R3Qr3=4πε0R3Qr

②r>Rr>Rr>R，∑q内=Q\sum{q_内}=Q∑q内=Q，E2=Q4πε0r2\Large E_2=\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0r^2}E2=4πε0r2Q

得到场强后，电势也就是场强由起点到无穷远的线积分

①r<Rr<Rr<R，V=∫起点∞E⃗dl⃗=∫rRE1⃗⋅dr⃗+∫R∞E2⃗⋅dr⃗=\Large V=\int_{起点}^{\infty} \vec{E}d\vec{l}=\int_{r}^{R}\vec{E_1}·d\vec{r}+\int_{R}^{\infty} \vec{E_2} ·d\vec{r}=V=∫起点∞Edl=∫rRE1⋅dr+∫R∞E2⋅dr=∫rRQr4πε0R3dr+∫R∞Q4πε0r2dr=Q(R2−r2)8πε0R3+Q4πε0R\Large \int_{r}^{R} \frac{Qr} {4\pi\varepsilon_0R^3 }dr+\int_{R}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2 }dr=\frac{Q(R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3 } +\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0R}∫rR4πε0R3Qrdr+∫R∞4πε0r2Qdr=8πε0R3Q(R2−r2)+4πε0RQ

②r>Rr>Rr>R，V=∫起点∞E⃗⋅dl⃗=∫R∞E2⃗⋅dr⃗=∫R∞Q4πε0r2dr=Q4πε0R\Large V=\int_{起点}^{\infty }\vec{E}·d\vec{l}=\int_{R}^{\infty}\vec{E_2}·\vec{dr}=\int_{R}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0r^2}dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0R}V=∫起点∞E⋅dl=∫R∞E2⋅dr=∫R∞4πε0r2Qdr=4πε0RQ

3、一带电细棒长为LLL，电荷线密度为λ=λ0(b+x)\lambda =\lambda_0(b+x)λ=λ0(b+x)，λ0>0\lambda_0>0λ0>0，坐标原点OOO位于细棒左端，现在棒外有一PPP点，和细棒的距离为aaa，已知OPOPOP在细棒上的投影为L3\frac{L}{3}3L，且OP2=a2+(L3)2OP^2=a^2+(\frac{L}{3})^2OP2=a2+(3L)2，3b=−L3b=-L3b=−L，求PPP点电势

分析：细棒在PPP点的电势，可以由细棒上的每一个微元在PPP点的电势累加形成，具体问题又回归到点电荷在一点的电势，然后定积分求解即可。注意细棒的线密度是动态变化的

求解：点电荷在一点的电势表达式为dV=dq4πε0r\Large dV=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r }dV=4πε0rdq，由题目可知，dq=λdxdq=\lambda dxdq=λdx，代入λ\lambdaλ的表达式，

dV=dq4πε0r=λdx4πε0r=λ0(b+x)dx4πε0r=λ0(−L3+x)dx4πε0r\Large dV=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r }=\frac{\lambda dx}{4\pi\varepsilon _0r}=\frac{\lambda _0(b+x)dx}{4\pi\varepsilon _0r}=\frac{\lambda _0(-\frac{L}{3}+x)dx}{4\pi\varepsilon _0r}dV=4πε0rdq=4πε0rλdx=4πε0rλ0(b+x)dx=4πε0rλ0(−3L+x)dx

由几何关系OP2=a2+(x−L3)2OP^2=a^2+(x-\frac{L}{3})^2OP2=a2+(x−3L)2，OP=rOP=rOP=r，

代入dVdVdV的表达式中，并对两边求定积分即可，具体细节如下

V=λ04πε0∫0L−L3+xrdx=λ04πε0∫0Lx−L3(x−L3)2+a2dx\Large V=\frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon _0}\int_{0}^{L} \frac{-\frac{L}{3}+x}{r}dx=\frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon _0}\int_{0}^{L}\frac{x-\frac{L}{3}}{\sqrt{(x-\frac{L}{3})^2+a^2} } dxV=4πε0λ0∫0Lr−3L+xdx=4πε0λ0∫0L(x−3L)2+a2x−3Ldx

最终结果为λ04πε0(49L2+a2−L29+a2)\large \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon _0}(\sqrt{\frac{4}{9}L^2+a^2}-\sqrt{\frac{L^2}{9}+a^2})4πε0λ0(94L2+a2−9L2+a2)

4、利用磁场中的环路定理，求“无限长”载流圆柱直导体的内外磁场分布，设圆柱半径为RRR，总电流III在圆柱直导体的横截面上均匀分布

解析：①r<Rr<Rr<R时，由安培环路定理，∮B⋅dl=μ0∑I内\Large \oint B·dl=\mu_0\sum{I_内}∮B⋅dl=μ0∑I内

B⋅2πr=μ0IπR2⋅πr2=μ0Ir2R2\Large B·2\pi r=\mu_0\frac{I}{\pi R^2}·\pi r^2=\frac{\mu_0Ir^2}{R^2}B⋅2πr=μ0πR2I⋅πr2=R2μ0Ir2

解得B=μ0Ir2πR2\Large B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}B=2πR2μ0Ir，方向逆时针

②r>Rr>Rr>R时，∑I内=I\sum{I_内}=I∑I内=I，B=μ0I2πr\Large B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}B=2πrμ0I，逆时针

5、在真空中有两根相互平行的载流直导线相距aaa米，通有方向相反的电流I1,I2I_1,I_2I1,I2，求两根载流直导线所决定的平面内位于一导线两侧各距离bbb米的两点的磁感应强度BBB的大小

原答案错误，请谅解

6、一无限长载流直导线中的电流随时间余弦变化I=I0cos⁡ωtI=I_0\cos \omega tI=I0cosωt，矩形线圈与载流导线共面，线圈长为LLL，宽为bbb，其长边与载流导线平行，开始时线圈距导线距离为rrr，求通过线圈的磁通量及线圈中的感应电动势
解析：由毕奥-萨法尔定律可推出二级结论，无限长导线附近的磁感应强度为B=μ0I2πxB=\frac{\mu_0I}{2\pi x}B=2πxμ0I

在线圈上任取一面积元dSdSdS，其宽度为dxdxdx，且dS=ldxdS=ldxdS=ldx，该面积元的磁通量为dφ=B⋅dS=μ0I2πxldxd\varphi =B·dS=\frac{\mu_0I}{2\pi x}ldxdφ=B⋅dS=2πxμ0Ildx

对dφd\varphidφ的表达式积分，得到整个线圈的磁通量φ=∫dφ=μ0Il2π∫rr+b1xdx=μ0lI0cos⁡ωt2πlnr+br\Large \varphi =\int d\varphi=\frac{\mu_0Il}{2\pi}\int_{r}^{r+b}\frac{1}{x} dx=\frac{\mu_0lI_0\cos \omega t}{2\pi}ln\frac{r+b}{r}φ=∫dφ=2πμ0Il∫rr+bx1dx=2πμ0lI0cosωtlnrr+b

由法拉第电磁感应定律得：E=−dφdtE=-\frac{d\varphi }{dt}E=−dtdφ

对上述磁通量表达式对ttt求导可得最终结果

E=ωμ0lI02πlnr+br(−sin⁡ωt)\Large E=\frac{\omega \mu_0lI_0}{2\pi}ln\frac{r+b}{r}(-\sin {\omega t})E=2πωμ0lI0lnrr+b(−sinωt)

7、一载有电流I=3.5AI=3.5AI=3.5A的硬导线，转折处为半径r=0.20mr=0.20mr=0.20m的14\frac{1}{4}41圆周ababab，均匀外磁场的大小为B=2.0TB=2.0TB=2.0T，其方向垂直于导线所在的平面，求圆弧部分所受安培力

解析：在导线上取一线元Idl⃗Id\vec{l}Idl，对这个线元，其受到的安培力为dF=Idl×B=IBdldF=Idl×B=IBdldF=Idl×B=IBdl，

因为FFF在每一点的方向不同，不能直接累加，所以我们要用其在x,yx,yx,y轴上的分量累加

dFx=IBdlsin⁡φ=IBdydF_x=IBdl\sin\varphi =IBdydFx=IBdlsinφ=IBdy

dFy=IBdlcosφ=IBdxdF_y=IBdlcos\varphi=IBd_xdFy=IBdlcosφ=IBdx

对上面两个式子求定积分即可

Fx=∫00.2IBdy=1.4\Large F_x=\int_{0}^{0.2} IBdy=1.4Fx=∫00.2IBdy=1.4

Fy=∫00.2IBdx=3.5×2×0.2=1.4(N)\Large F_y=\int_{0}^{0.2}IBdx=3.5×2×0.2=1.4(N)Fy=∫00.2IBdx=3.5×2×0.2=1.4(N)
最终结果1.421.4\sqrt{2}1.42
8、一无限长载流直导线中的电流为III，矩形线圈与载流导线共面，线圈长LLL平行于载流导线，线圈宽为bbb，开始距导线为aaa，矩形导线框以水平速度v0v_0v0远离，求通过线圈的磁通量及线圈中的感应电动势

(1)同第6题，在线圈上取面积元dS=LdxdS=LdxdS=Ldx，dφ=B⋅dS=μ0I2π(a+v0t+x)Ldxd\varphi=B·dS=\frac{\mu_0I}{2\pi(a+v_0t+x)}Ldxdφ=B⋅dS=2π(a+v0t+x)μ0ILdx

对上面式子求定积分即可，φ=∫dφ=μ0IL2π∫0b1a+v0t+xdx=μ0IL2πln(1+ba+v0t)\large \varphi =\int d\varphi=\frac{\mu_0IL}{2\pi}\int_{0}^{b}\frac{1}{a+v_0t+x}dx=\frac{\mu_0IL}{2\pi}ln(1+\frac{b}{a+v_0t})φ=∫dφ=2πμ0IL∫0ba+v0t+x1dx=2πμ0ILln(1+a+v0tb)

(2)由法拉第电磁感应定律，E=−dφdt=μ0IL2π∗bv0(a+v0t+b)(a+v0t)\Large E=-\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\mu_0IL}{2\pi}*\frac{bv_0}{(a+v_0t+b)(a+v_0t)}E=−dtdφ=2πμ0IL∗(a+v0t+b)(a+v0t)bv0
9、质量为MMM的氢气，在温度为T1T_1T1时，体积为V1V_1V1，让其等温膨胀至V2V_2V2，求①系统的内能②系统对外所做的功

①理想气体内能为E=i2MμRT\Large E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu}RTE=2iμMRT，其增量表达式为ΔE=i2MμRΔT=i2MμR(T2−T1)\large \Delta E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu}R\Delta T =\frac{i}{2}\frac{M}{\mu}R(T_2-T_1)ΔE=2iμMRΔT=2iμMR(T2−T1)

由题目可知，前后温度不变，故ΔE=0\Delta E=0ΔE=0

故内能等于变化前的内能，因为氢气是双原子分子，故自由度i=5i=5i=5，内能为5MRT14\large \frac{5MRT_1}{4}45MRT1

②气体做功的表达式A=∫V1V2PdVA=\int_{V1}^{V2}PdVA=∫V1V2PdV，由理想气体状态方程可知，p=MRTμVp=\frac{MRT}{\mu V}p=μVMRT

代入氢气μ=2\mu =2μ=2，并将PPP的表达式代入AAA得A=MRT2∫V1V21vdv=MRT2lnV2V1\Large A=\frac{MRT}{2}\int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{v}dv=\frac{MRT}{2}ln\frac{V2}{V1}A=2MRT∫V1V2v1dv=2MRTlnV1V2

10、将压强为PPP papapa，体积为V1V_1V1立方米氧气的理想气体，自温度T1T_1T1度加热到T2=T1+100T_2=T_1+100T2=T1+100度，如果压强保持不变，求此系统内能增量及需要吸收多少热量

氧气是双原子分子，i=5i=5i=5

对前后两个状态列理想气体状态方程：

PV1=MμRT1PV_1=\frac{M}{\mu}RT_1PV1=μMRT1

PV2=MμRT2PV_2=\frac{M}{\mu}RT_2PV2=μMRT2

又内能变化量为ΔE=i2MμRΔT\Delta E=\frac{i}{2}\frac{M}{\mu}R\Delta TΔE=2iμMRΔT

联立上述三个式子，内能增量为250PV1T1250\frac{PV_1}{T_1}250T1PV1

由热力学第一定律得，Q=ΔE+AQ=\Delta E+AQ=ΔE+A

气体做功表达式为A=∫V1V2PdV=P(V2−V1)A=\int_{V_1}^{V_2}PdV=P(V_2-V_1)A=∫V1V2PdV=P(V2−V1)

联立上述五个式子，最终吸热为350PV1T1350\frac{PV_1}{T_1}350T1PV1