CCC组
- 3.设当a⩽x⩽ba\leqslant x\leqslant ba⩽x⩽b时，a⩽f(x)⩽ba\leqslant f(x)\leqslant ba⩽f(x)⩽b，并设存在常数kkk，0⩽k<10\leqslant k<10⩽k<1，对于[a,b][a,b][a,b]上的任意两点x1x_1x1与x2x_2x2，都有∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant k|x_1-x_2|∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣。证明：
- - （1）存在唯一的ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ；
  - （2）对于任意给定的x1∈[a,b]x_1\in[a,b]x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,\cdotsxn+1=f(xn),n=1,2,⋯，则lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞limxn存在，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ。
- 4.设f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，满足0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，设a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)a_1\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots)a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)，证明：
- - （1）{an}\{a_n\}{an}为收敛数列；
  - （2）设lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，则有f(t)=tf(t)=tf(t)=t；
  - （3）若条件改为0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)<x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)，则（2）中的t=0t=0t=0。
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CCC组

3.设当a⩽x⩽ba\leqslant x\leqslant ba⩽x⩽b时，a⩽f(x)⩽ba\leqslant f(x)\leqslant ba⩽f(x)⩽b，并设存在常数kkk，0⩽k<10\leqslant k<10⩽k<1，对于[a,b][a,b][a,b]上的任意两点x1x_1x1与x2x_2x2，都有∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant k|x_1-x_2|∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣。证明：

（1）存在唯一的ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ；

解由∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant k|x_1-x_2|∣f(x1)−f(x2)∣⩽k∣x1−x2∣，对于任意固定的x0∈[a,b]x_0\in[a,b]x0∈[a,b]作为其中的x2x_2x2，并将x1x_1x1记为xxx。于是有∣f(x)−f(x0)∣⩽k∣x−x0∣|f(x)-f(x_0)|\leqslant k|x-x_0|∣f(x)−f(x0)∣⩽k∣x−x0∣，当x→x0x\to x_0x→x0时，∣f(x)−f(x0)∣→0|f(x)-f(x_0)|\to0∣f(x)−f(x0)∣→0，于是有lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)x→x0limf(x)=f(x0)，可知f(x)f(x)f(x)在x0∈[a,b]x_0\in[a,b]x0∈[a,b]处连续，由x0x_0x0的任意性，知f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续。
令φ(x)=f(x)−x\varphi(x)=f(x)-xφ(x)=f(x)−x，则φ(a)=f(a)−a⩾0,φ(b)=f(b)−b⩽0\varphi(a)=f(a)-a\geqslant0,\varphi(b)=f(b)-b\leqslant0φ(a)=f(a)−a⩾0,φ(b)=f(b)−b⩽0。
上述两不等式若至少有一个等号成立，例如φ(a)=0\varphi(a)=0φ(a)=0，则取ξ=a∈[a,b]\xi=a\in[a,b]ξ=a∈[a,b]，有φ(ξ)=f(ξ)−ξ=0\varphi(\xi)=f(\xi)-\xi=0φ(ξ)=f(ξ)−ξ=0。
若上述两不等式中无一个等号成立，即φ(a)=f(a)−a>0,φ(b)=f(b)−b<0\varphi(a)=f(a)-a>0,\varphi(b)=f(b)-b<0φ(a)=f(a)−a>0,φ(b)=f(b)−b<0。于是由连续函数介值定理知，存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得φ(ξ)=f(ξ)−ξ=0\varphi(\xi)=f(\xi)-\xi=0φ(ξ)=f(ξ)−ξ=0。
再证唯一性，用反证法证明。
设存在η∈[a,b],η≠ξ\eta\in[a,b],\eta\ne\xiη∈[a,b],η=ξ，使得φ(η)=f(η)−η=0\varphi(\eta)=f(\eta)-\eta=0φ(η)=f(η)−η=0。于是f(η)−f(ξ)=η−ξf(\eta)-f(\xi)=\eta-\xif(η)−f(ξ)=η−ξ，则∣η−ξ∣=∣f(η)−f(ξ)∣⩽k∣η−ξ∣|\eta-\xi|=|f(\eta)-f(\xi)|\leqslant k|\eta-\xi|∣η−ξ∣=∣f(η)−f(ξ)∣⩽k∣η−ξ∣，即(1−k)∣η−ξ∣⩽0(1-k)|\eta-\xi|\leqslant0(1−k)∣η−ξ∣⩽0。但因1−k>0,∣η−ξ∣>01-k>0,|\eta-\xi|>01−k>0,∣η−ξ∣>0，导致矛盾，所以η=ξ\eta=\xiη=ξ，证明了唯一性。（这道题主要利用了构造函数求解）

（2）对于任意给定的x1∈[a,b]x_1\in[a,b]x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,\cdotsxn+1=f(xn),n=1,2,⋯，则lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞limxn存在，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ。

解为证lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ，考虑∣xn−ξ∣→0|x_n-\xi|\to0∣xn−ξ∣→0，其中x1x_1x1与ξ\xiξ都是确定的值。
所以当n→∞n\to\inftyn→∞时，∣xn−ξ∣→0|x_n-\xi|\to0∣xn−ξ∣→0，从而证明了存在lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞limxn，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ。（这道题主要利用了极限定义求解）

4.设f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，满足0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，设a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)a_1\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots)a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)，证明：

（1）{an}\{a_n\}{an}为收敛数列；

解由于0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，因此有an+1−an=f(an)−an⩽0(n=1,2,⋯)a_{n+1}-a_n=f(a_n)-a_n\leqslant0(n=1,2,\cdots)an+1−an=f(an)−an⩽0(n=1,2,⋯)，即{an}\{a_n\}{an}为单调递减数列。又因a1⩾0,f(x)⩾0,an+1=f(an)a_1\geqslant0,f(x)\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)a1⩾0,f(x)⩾0,an+1=f(an)，所以an⩾0(n=1,2,⋯)a_n\geqslant0(n=1,2,\cdots)an⩾0(n=1,2,⋯)。
综上可知{an}\{a_n\}{an}单调递减且有下界，故必为收敛数列。

（2）设lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，则有f(t)=tf(t)=tf(t)=t；

解因lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，且t∈[0,+∞)t\in[0,+\infty)t∈[0,+∞)，故有t=lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞f(an)=f(lim⁡n→∞an)=f(t)t=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)=f(t)t=n→∞liman+1=n→∞limf(an)=f(n→∞liman)=f(t)。

（3）若条件改为0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)<x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)，则（2）中的t=0t=0t=0。

解由an⩾0a_n\geqslant0an⩾0及lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，知t⩾0t\geqslant0t⩾0，若t≠0t\ne0t=0，则t∈(0,+∞)t\in(0,+\infty)t∈(0,+∞)，且f(t)<tf(t)<tf(t)<t，但由（2）知f(t)=tf(t)=tf(t)=t，矛盾，所以t=0t=0t=0。（这道题主要利用了反证法求解）

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张宇1000题高等数学第二章数列极限

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CCC组

（1）存在唯一的ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ；

（2）对于任意给定的x1∈[a,b]x_1\in[a,b]x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,\cdotsxn+1=f(xn),n=1,2,⋯，则lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞limxn存在，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ。

4.设f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，满足0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，设a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)a_1\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots)a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)，证明：

（1）{an}\{a_n\}{an}为收敛数列；

（2）设lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，则有f(t)=tf(t)=tf(t)=t；

（3）若条件改为0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)<x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)，则（2）中的t=0t=0t=0。

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CCC组

（1）存在唯一的ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ；

（2）对于任意给定的x1∈[a,b]x_1\in[a,b]x1​∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,\cdotsxn+1​=f(xn​),n=1,2,⋯，则lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞lim​xn​存在，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞lim​xn​=ξ。

4.设f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，满足0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，设a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)a_1\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots)a1​⩾0,an+1​=f(an​)(n=1,2,⋯)，证明：

（1）{an}\{a_n\}{an​}为收敛数列；

（2）设lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞lim​an​=t，则有f(t)=tf(t)=tf(t)=t；

（3）若条件改为0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)<x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)<x,x∈[0,+∞)，则（2）中的t=0t=0t=0。

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（2）对于任意给定的x1∈[a,b]x_1\in[a,b]x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn),n=1,2,⋯x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,\cdotsxn+1=f(xn),n=1,2,⋯，则lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_nn→∞limxn存在，且lim⁡n→∞xn=ξ\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\xin→∞limxn=ξ。

4.设f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上连续，满足0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)0\leqslant f(x)\leqslant x,x\in[0,+\infty)0⩽f(x)⩽x,x∈[0,+∞)，设a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)a_1\geqslant0,a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots)a1⩾0,an+1=f(an)(n=1,2,⋯)，证明：

（1）{an}\{a_n\}{an}为收敛数列；

（2）设lim⁡n→∞an=t\lim\limits_{n\to\infty}a_n=tn→∞liman=t，则有f(t)=tf(t)=tf(t)=t；

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