多项式计算大模拟：csp202112-3登机牌条码

题目描述

csp202112-3

题目分析

本题有两部分模拟，一部分是计算数据码字，一部分是计算校验码字。
数据码字的计算比较简单，写个简单的状态机生成一系列数字之后两两组合即可获得数据区。测试样例也比较“善良”，可以直接过40分。
校验码字考场上直接没看明白，看博主题解才发现就是模拟多项式乘除法。之前没有怎么接触过多项式乘除法的计算，这次也算是新技能get了。

校验码字的计算

题目给出的校验码字的定义形式如下。

考场上首要任务是不要被看起来繁杂的数学式子吓到，仔细观察会发现式子里很多系数都是已知的，如gx的各项系数，dx的各项系数（就是包括长度信息的数据码字）。表面上有两个未知多项式qx和rx，实际恒等式是一个带余除法的形式，即 xkd(x)/g(x)x^kd(x)/g(x)xkd(x)/g(x) ，qx是商，-rx是余数。直接模拟竖式除法即可。多项式的各项系数直接使用vector存放。需要注意的是所有的运算都要在模运算意义下（MOD=929）进行，否则过程中的系数可能会很大。

细节

式子有一个坑，余数是 -rx 而不是 rx，因此结果需要取rx每一项系数的相反数再取模；这里会引出的另一个问题是关于负数模的定义问题，C++中负数模的结果仍是负数，如下：

因此结果的正确表达式是 (MOD - rx_i) % MOD （而不是 abs((- dx[i]) % MOD)），即先对rx_i的相反数加上一个MOD，使其变为正数，再取模即可（而不是先取模再求绝对值）。
过程中的所有系数（包括临时变量_3pow），都需要在模意义下进行，否则会爆int（实测long long也会爆）。

AC代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
#define UPPER 0
#define LOWER 1
#define DIGIT 2
#define MOD 929
vector<int> raw, res;
int main() {int w, s, state = UPPER;scanf("%d%d", &w, &s);int k = 2 << s;string str;cin >> str;res.push_back(0);   // lengthfor (int i = 0; i < str.length(); ) {char this_char = str[i];switch (state) {case UPPER:if (this_char >= 'A' && this_char <= 'Z') {raw.push_back(this_char - 'A');i++;}else if (this_char >= 'a' && this_char <= 'z') {raw.push_back(27);state = LOWER;}else {raw.push_back(28);state = DIGIT;}break;case LOWER:if (this_char >= 'A' && this_char <= 'Z') {raw.push_back(28);state = DIGIT;}else if (this_char >= 'a' && this_char <= 'z') {raw.push_back(this_char - 'a');i++;}else {raw.push_back(28);state = DIGIT;}break;case DIGIT:if (this_char >= 'A' && this_char <= 'Z') {raw.push_back(28);state = UPPER;}else if (this_char >= 'a' && this_char <= 'z') {raw.push_back(27);state = LOWER;}else {raw.push_back(this_char - '0');i++;}break;default: ;}}if (raw.size() % 2) raw.push_back(29);for (int i = 0; i < raw.size(); i += 2) {res.push_back(raw[i] * 30 + raw[i+1]);}while (s == -1 ? res.size() % w : (res.size() + k) % w) {res.push_back(900);}res[0] = res.size();vector<int> gx(k+1, 0);gx[0] = -3;gx[1] = 1;int _3pow = - 3 * 3;for (int i = 2; i <= k; i++) {vector<int> prev_gx(gx);gx[0] = (gx[0] * _3pow) % MOD;for (int j = 1; j <= i; j++) {gx[j] = (prev_gx[j-1] + (prev_gx[j] * _3pow) % MOD) % MOD;}_3pow *= 3;             // 低级错误2_3pow %= MOD;            // 低级错误3}int n = res[0];vector<int> dx(n+k, 0);for (int i = 0; i < n; i++) {dx[i+k] = res[n-1-i] % MOD;}for (int i = k+n-1; i >= k; i--) {int para = dx[i];for (int j = k, ii = i; j >= 0; j--, ii--) {dx[ii] = (dx[ii] - (gx[j] * para % MOD)) % MOD;}}for (int i = k-1; i >= 0; i--) res.push_back((MOD - dx[i]) % MOD);   // 低级错误1for (int i = 0; i < res.size(); i++) {printf("%d\n", res[i]);}return 0;
}

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