Discounted Cumulative Gain（DCG）

Discounted Cumulative Gain（DCG）是衡量排名质量的一种方法。在信息检索中，经常被用来衡量网络搜索引擎算法或相关应用程序的有效性。DCG使用搜索引擎结果集中文档的分级相关性度量，根据文档在结果列表中的位置度量文档的有用性或增益。增益从结果列表的顶部累积到底部，每个结果的增益在较低的位置会有折损。

在使用DCG和相关度量时有两个假设：

在搜索引擎结果列表越前面的文档，高相关度的文档越有用。
高度相关的文档比略微相关的文档更有用，而略微相关的文档比不相关的文档更有用。

DCG起源于更早的、更原始的度量方法Cumulative Gain。

CG

CG是DCG的前身，在考虑结果集的实用性时不包括结果的位置。它是搜索结果列表中所有结果的分级相关性的和。在指定位置 $p$ 的CG定义为：

$CG_{p}=\sum_{i=1}^{p}rel_{i}$

其中 $rel_{i}$ 是位置 $i$ 处结果的分级相关性。

使用CG函数计算的值不受搜索结果顺序变化的影响。也就是说将高相关度的文档移动到更高的、不太相关的文档之上不会改变CG计算的值。为了更精确的度量使用DCG代替CG。

DCG

DCG的前提是在搜索结果列表中高相关度的文档出现在较低的位置应该被惩罚，分级的相关性值与结果的位置成对数比例降低。

在指定位置 $p$ 传统的DCG累加公式定义为：

$DCG_{p}=\sum_{i=1}^{p}\frac{rel_{i}}{log_{2}\left ( i+1 \right )}=rel_{1}+\sum_{i=2}^{p}\frac{rel_{i}}{log_{2}\left ( i+1 \right )}$

DCG的另一种格式更强调检索相关文档：

$DCG_{p}=\sum_{i=1}^{p}\frac{2^{rel_{i}}-1}{log_{2}\left ( i+1 \right )}$

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