勒贝格外侧度为0的集合勒贝格可测.

这里，我们使用Carathéodory’s criterion来证明这个结论。
首相，令 m∗(A)=0m^{*}(A)=0m∗(A)=0.
接下来我们就需要证明 AAA 是勒贝格可测的。
为了证明 AAA勒贝格可测，我们需要证明下面的等式对所有的
S⊂RnS\subset \mathbb{R}^nS⊂Rn 成立。

m∗(S)=m∗(S∩A)+m∗(S∩Ac)m^{*}(S)=m^{*}(S\cap A)+m^{*}(S\cap A^c)m∗(S)=m∗(S∩A)+m∗(S∩Ac)
又因为

S=(S∩A)∪(A∩AC)S=(S\cap A)\cup (A\cap A^C)S=(S∩A)∪(A∩AC)

我们可以得到

m∗(S)⩽m∗(S∩A)+m∗(S∩AC)m^{*}(S)\leqslant m^{*}(S\cap A)+m^{*}(S\cap A^C)m∗(S)⩽m∗(S∩A)+m∗(S∩AC)
接下来只需要证明

m∗(S∩A)+m∗(S∩AC)⩽m∗(S)m^{*}(S\cap A)+m^{*}(S\cap A^C)\leqslant m^{*}(S)m∗(S∩A)+m∗(S∩AC)⩽m∗(S)

即可
因为 S∩A⊂AS\cap A\subset AS∩A⊂A, 所以

m∗(S∩A)⩽m∗(A)=0m^{*}(S\cap A)\leqslant m^{*}(A)=0m∗(S∩A)⩽m∗(A)=0
因为 S∩AC⊂SS\cap A^C\subset SS∩AC⊂S, 所以

m∗(S∩AC)⩽m∗(S)m^{*}(S\cap A^C)\leqslant m^{*}(S)m∗(S∩AC)⩽m∗(S)
由7,8得6成立。故而结论得证.

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