波动方程的行波解（二）| 半直线上的问题——延拓法

半直线上的弦振动问题，有时可以先将初始条件延拓至整根直线，再用达朗贝尔公式求解。

例1：一段固定半无界弦的自由振动
{ ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 t > 0 , x > 0 u ( t , 0 ) = 0 u ( 0 , x ) = φ ( x ) , u t ( 0 , x ) = ψ ( x ) (1) \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \quad t>0,x>0 \\ u(t,0)=0 \\ u(0,x)=\varphi(x), \quad u_t(0,x)=\psi(x) \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎨⎪⎧∂t2∂2u=a2∂x2∂2ut>0,x>0u(t,0)=0u(0,x)=φ(x),ut(0,x)=ψ(x)(1)
分析：这里的初始条件 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)仅在 x > 0 x>0 x>0有定义，故不能直接应用达朗贝尔公式。但由达朗贝尔公式可知，如果定义在整个实轴上的 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)为奇函数，则
u ( t , 0 ) = 1 2 [ φ ( − a t ) + φ ( a t ) ] + 1 2 a ∫ − a t a t ψ ( ξ ) d ξ = 0 u(t,0)=\frac{1}{2}[\varphi(-at)+\varphi(at)]+\frac{1}{2a}\int_{-at}^{at}\psi(\xi)d\xi=0 u(t,0)=21[φ(−at)+φ(at)]+2a1∫−atatψ(ξ)dξ=0
如果 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)是偶函数，则
∂ u ∂ x ( t , 0 ) = 1 2 [ φ ′ ( − a t ) + φ ′ ( a t ) ] + 1 2 a [ ψ ( a t ) − ψ ( − a t ) ] = 0 \frac{\partial u}{\partial x}(t,0)=\frac{1}{2}[\varphi'(-at)+\varphi'(at)]+\frac{1}{2a}[\psi(at)-\psi(-at)]=0 ∂x∂u(t,0)=21[φ′(−at)+φ′(at)]+2a1[ψ(at)−ψ(−at)]=0
因此，可用延拓法将（1）式中的 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)从 x > 0 x>0 x>0奇延拓到 x < 0 x<0 x<0，再利用达朗贝尔公式，求出的解满足边界条件 u ( t , 0 ) = 0 u(t,0)=0 u(t,0)=0。

解：作辅助函数
Φ ( x ) = { φ ( x ) , x ≥ 0 , − φ ( − x ) , x < 0 \Phi(x)= \begin{cases} \varphi(x), & x\geq 0, \\ -\varphi(-x), & x<0 \end{cases} Φ(x)={φ(x),−φ(−x),x≥0,x<0

Ψ ( x ) = { ψ ( x ) , x ≥ 0 − ψ ( − x ) , x < 0 \Psi(x)= \begin{cases} \psi(x), & x\geq 0 \\ -\psi(-x), & x<0 \end{cases} Ψ(x)={ψ(x),−ψ(−x),x≥0x<0

由达朗贝尔公式得（1）式的解
u ( t , x ) = 1 2 [ Φ ( x + a t ) + Φ ( x − a t ) ] + 1 2 a ∫ x − a t x + a t Ψ ( ξ d ξ ) { 1 2 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] + 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ( ξ ) d ξ , t ≤ x a 1 2 [ φ ( x + a t ) + φ ( a t − x ) ] + 1 2 a ∫ a t − x x + a t ψ ( ξ ) d ξ , t > x a u(t,x)=\frac{1}{2}[\Phi(x+at)+\Phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\Psi(\xi d\xi) \\ \begin{cases} \frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi, & t\leq \frac{x}{a} \\ \frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(at-x)]+\frac{1}{2a}\int_{at-x}^{x+at}\psi(\xi)d\xi, & t> \frac{x}{a} \end{cases} u(t,x)=21[Φ(x+at)+Φ(x−at)]+2a1∫x−atx+atΨ(ξdξ){21[φ(x+at)+φ(x−at)]+2a1∫x−atx+atψ(ξ)dξ,21[φ(x+at)+φ(at−x)]+2a1∫at−xx+atψ(ξ)dξ,t≤axt>ax
为理解此解的物理意义，不妨设初速度 ψ ( ξ ) = 0 \psi(\xi)=0 ψ(ξ)=0。当 t ≤ π a t\leq \frac{\pi}{a} t≤aπ时，端点的影响尚未传到x点，x点的运动仍由初位移引起的左右行波 1 2 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] \frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)] 21[φ(x+at)+φ(x−at)]决定。当 t ≥ x a t\geq \frac{x}{a} t≥ax，端点的影响已传到x点，x点运动由左行波（入射波） 1 2 φ ( x + a t ) \frac{1}{2}\varphi(x+at) 21φ(x+at)和右行波（反射波） − 1 2 φ ( a t − x ) -\frac{1}{2}\varphi(at-x) −21φ(at−x)决定。在端点 x = 0 x=0 x=0处，入射波与反射波分别为 1 2 φ ( a t ) \frac{1}{2}\varphi(at) 21φ(at)和 − 1 2 φ ( a t ) -\frac{1}{2}\varphi(at) −21φ(at)，故 u ( t , 0 ) ≡ 0 u(t,0)\equiv 0 u(t,0)≡0

类似地，也可通过将 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)作偶延拓求解端点自由的半无界弦的自由振动。

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