真题训练1-算法思维训练

文章目录

真题训练1-算法思维训练
- 前言
- 项目环境
- 例题1：斐波那契数列
- 例题2：判断一个数组中是否存在某个数
- 参考

前言

第十四章《通用解题的方法论》我们讨论了解题的方法论，宏观上可以分为以下 4 个步骤：

复杂度分析，估算问题中的复杂度的上限和下限。
定位问题，根据问题类型，确定采用何种算法思维。
数据操作分析，根据增、删、查和数据顺序关系选择合适的数据结构，利用空间换时间的思想。
编码实现。

本章，我们用一些算法的面试题进行练习，来训练算法思维。

项目环境

jdk 1.8
github 地址：https://github.com/huajiexiewenfeng/data-structure-algorithm
- 本章模块：chapter10

例题1：斐波那契数列

斐波那契数列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……。你会发现，这个数列中元素的性质是，某个数等于它前面两个数的和；也就是 a[n+2] = a[n+1] + a[n]。至于起始两个元素，则分别为 0 和 1。在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。

【题目】：

写一个函数，输入 x，输出斐波那契数列中第 x 位的元素。例如，输入 4，输出 2；输入 9，输出 21。要求：需要用递归的方式来实现。

【解题】：

复杂度分析

题目中要求要用递归的方式来实现，而递归的次数与 x 的具体数值有非常强的关系。因此，此时的时间复杂度应该是关于输入变量 x 的数值大小的函数。

定位问题

因为题目中已经明确了要采用递归去解决。所以也不用再去做额外的分析和判断了。

数据操作分析

这道题只是简单的数字求和，所以也不需要复杂的数据结构。

编码实现

相关章节《数据结构与算法|第七章：递归》

递推公式如下：

f(n) = f(n-1)+f(n-2);

终止条件：n<=1

根据递推公式的伪代码如下：

        protected Integer f(int n) {if (n <= 1) {return n;}int a = f(n - 1);int b = f(n - 2);return a + b;}

最后的实现代码：

public class FibonacciDemo {public static void main(String[] args) {int index = 8;System.out.printf("位置[%d]的斐波纳契数为：[%d]", index, fn(index));}public static int fn(int number) {if (number <= 1) {return number;}return fn(number - 1) + fn(number - 2);}
}

例题2：判断一个数组中是否存在某个数

【题目】

给定一个经过任意位数的旋转后的排序数组，判断某个数是否在里面。

例如，对于一个给定数组 {4, 5, 6, 7, 0, 1, 2}，它是将一个有序数组的前三位旋转地放在了数组末尾。假设输入的 target 等于 0，则输出答案是 4，即 0 所在的位置下标是 4。如果输入 3，则返回 -1。

【解题】：

复杂度分析

复杂度上限：遍历整个数组，查找的时间复杂度为 O(n)。

复杂度下线：但是它是一个被旋转之后的有序数组，有序数组可以利用二分查找，查找时间复杂度为O(logn)。

定位问题

关键词：有序数组，旋转，查找

首先这是一个在数组中查找元素的问题，其次这个数组是有序数组，所以可以通过二分查找来解决。

数据操作分析

现在的问题是虽然数组有序，但是经过了旋转，如果我们通过二分查找先查找前面未旋转数组的元素，也就是 0 到 n-3 位置的元素，比如{4, 5, 6, 7}，如果找不到，我们查找后面的有序数组{0,1,2}。

需要注意的是题目中说的是任意位数的旋转后的排序数组，说明这个旋转位数并不确定，这又增加了一定的复杂性。

所以我们需要在递归的过程中判断，分裂点的左边和右边的数组是否有序，如果有序则采用二分查找，如果无序，继续递归，因为无序的情况和题目的情况是一样的，相当于一个子问题，所以可以递归。

编码实现

二分查找可以参考之前的文章《数据结构与算法|第十一章：二分查找-上》

本例中直接把代码拷贝过来，做简单的修改。

public class FindNumberDemo {public static void main(String[] args) {int[] numbers = new int[]{4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2};int number = 2;int index = findNumber(numbers, number, 0, numbers.length - 1);System.out.printf("数组中数字[%d]的位置是[%d]\n", number, index);}private static int findNumber(int[] numbers, int number, int begin, int end) {int mid = begin + ((end - begin) >> 1);// 分裂点if (number == numbers[mid]) {return mid;}if (numbers[begin] < numbers[mid - 1]) {// 有序// 如果目标在数组范围内if (number <= numbers[mid - 1] && number >= (numbers[begin])) {return binarySearch(numbers, number, begin, mid - 1);// 二分查找} else {return findNumber(numbers, number, mid + 1, end);// 继续递归无序的数组}} else {// 如果 begin 到 mid -1 无序，说明 mid+1 到 end 有序// 如果目标在数组范围内if (number <= numbers[end] && number >= (numbers[mid + 1])) {return binarySearch(numbers, number, mid + 1, end);// 二分查找} else {return findNumber(numbers, number, begin, mid - 1);// 继续递归无序的数组}}}private static int binarySearch(int[] numbers, int value, int low, int high) {int index = -1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (numbers[mid] == value) {return mid;} else if (numbers[mid] < value) {low = mid + 1;} else if (numbers[mid] > value) {high = mid - 1;}}return index;}
}

参考

《重学数据结构与算法》- 公瑾