1. 非负矩阵分解（NMF）

非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization ，NMF）是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。
基本思想：给定一个非负矩阵V，NMF能够找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，使得矩阵W和H的乘积近似等于矩阵V中的值。

Vn×m=Wn×k×Hk×mV_{n\times m}=W_{n\times k}\times H_{k\times m}Vn×m=Wn×k×Hk×m

WWW矩阵：基础图像矩阵矩阵，相当于从原中抽取出来的特征。
HHH矩阵：系数矩阵。
NMFNMFNMF能够广泛应用于图像分析、文本挖掘和语音处理等领域。

上图摘自NMF作者的论文，左侧为WWW矩阵，可以看出从原始图像中抽取出来的特征，中间的是HHH矩阵。可以发现乘积结果与原结果是很像的。

3. sklearn中非负矩阵分解

在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.NMF加载NMF算法，主要参数有：

n_components：用于指定分解后矩阵的单个维度k。
init：WWW矩阵和HHH矩阵的初始化方式，默认为nndsvdar。

#NMF人脸数据特征提取
已知Olivetti人脸数据共 400个，每个数据是64*64大小。由于NMF分解得到的W矩阵相当于从原始矩阵中提取的特征，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。

通过设置k的大小，设置提取的特征的数目。在本实验中设置k=6，随后将提取的特征以图像的形式展示出来。

# 加载matplotlib用于数据的可视化
import matplotlib.pyplot as plt
# 加载PCA算法包
from sklearn import decomposition
# 加载Olivetti人脸数据集导入函数
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces
# 加载RandomState用于创建随机种子
from numpy.random import RandomState# 设置基本参数
# 设置图像展示时的排列情况
n_row, n_col = 2, 3
# 设置提取的特征的数目
n_components = n_row * n_col
# 设置人脸数据图片的大小
image_shape = (64, 64)
# 加载人脸数据
data_set = fetch_olivetti_faces(shuffle=True, random_state=RandomState(0))
faces = data_set.data
# 设置图像的展示方式
def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):# 创建图片，并指定图片大小（英寸）plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row))# 设置标题及字号大小plt.suptitle(title, size=16)for i, comp in enumerate(images):# 选择绘制的子图plt.subplot(n_row, n_col, i + 1)vmax = max(comp.max(), -comp.min())# 对数值归一化， 并以灰度图形式显示plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,interpolation='nearest', vmin=-vmax, vmax=vmax)# 去除子图的坐标轴标签plt.xticks(())plt.yticks(())# 对子图位置及间隔调整plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.)plot_gallery("First centered Olivetti faces", faces[:n_components])# 创建特征提取的对象NMF，使用PCA作为对比
estimators = [('Eigenfaces - PCA using randomized SVD',  # PCA方法decomposition.PCA(n_components=6, whiten=True)),  # PCA实例('Non-negative components - NMF',  # NMF方法decomposition.NMF(n_components=6, init='nndsvda', tol=5e-3))  # NMF实例
]# 降维后数据点的可视化
for name, estimator in estimators:print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name))print(faces.shape)estimator.fit(faces)components_ = estimator.components_plot_gallery(name, components_[:n_components])plt.show()

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1. 非负矩阵分解（NMF）

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