五线谱调式推导

很早的时候就听说过各种诸如“X大调”、“X小调”这样的术语，但听了这么多年也没有搞明白这究竟是什么意思。
直到最近两个月，才有大佬提示，其实各种调式升降记号都是可以由钢琴键位平移的方式得到的，这提供了一种推断调式的方法：在最常规的C大调基础上，每个音都提升一个音程，然后再看有哪些音跑到了黑键上，就可以知道有几个升号或降号了。
尽管这个过程用手算也是很容易完成的，但考虑到自己在C++公选结课后，已经有两年多的时间没有碰过C++了。为了再次熟练这个比较重要的语言，本次推导过程将使用C++来完成。

基本思路

从C大调出发

C大调在五线谱中，是没有任何升降号的存在的：

而如果将键位整体右移两个半音，则可以得到两个升号的调（D大调）：

因为一个八度共有12个半音，所以这样的平移一共可以得到十二种调式。只要对C大调的键位进行12次平移，就可以得到全部的十二种调式。

调式在程序中的表示

让第0位表示C，第1位表示C#……以此类推，第11位表示B，如果向左移位的话，则第11位被移动至第0位：

例如，C大调对应的七个键位分别为C、D、E、F、G、A、B，则对应的bit序列为：101010110101。而向高音处平移两个半音到D大调，则对应向左循环移位两次，得到：101011010110，对应C#、D、E、F#、G、A、B。

有了比较明确的思路后，就可以开始写代码了。

代码实现

初始状态：C大调

前面已经提到，C大调的bit表示方法，而初始状态又确认为C大调，因此这个数值可以作为常量存放在头文件中：

int MODE = 0xAB5; //101010110101 <- reverse(101011010101)

位与音符的对应关系

类似于python的字典，C++的标准库也有提供字典这个结构。该结构存放在map库中，include这个库即可用std::map进行使用（这里已经用了using std::map，所以在使用时直接写的map）：

map<int, string> NOTE_MAP = {{0, "C",},{1, "C#",},{2, "D",},{3, "D#",},{4, "E",},{5, "F",},{6, "F#",},{7, "G",},{8, "G#",},{9, "A",},{10, "A#",},{11, "B",},{12, "C",},{13, "Db",},{14, "D",},{15, "Eb",},{16, "E",},{17, "F",},{18, "Gb",},{19, "G",},{20, "Ab",},{21, "A",},{22, "Bb",},{23, "B",}};

在这里给了24个词条，主要是因为有些调式是使用降号的，对于这样的调式，应该使用降号表示法（对应字典的第13-24条）。

循环移位

循环移位的思路非常简单，就是向左移位一次，然后将最高位移动到第一位。这里没有对第12位及以上的bit进行截断，但也没有影响，因为后续的操作不会涉及到更高位的bit：

/** brief 对调式向左（高音方向）移动一个单位** @param orgMode 原有的调式*/
void shiftMode(int &orgMode){orgMode <<= 1;orgMode = orgMode | !!((1 << 12) & orgMode);
}

打印调式信息

调式有升号调的和降号调这两种，为了区分开来，在这里使用降号调的flag标记：dFlag，来将它们区分开来。如果有降号表示，则会在字典中查询第13-24项的词条：

/** brief 打印调式的相关信息** @param mode 调式* @param dFlag 降号表示，默认为0，即升号*/
void printModeInfo(int &mode, bool dFlag = false){for (int i = 0; i < 12; i++){int mask = (1 << i);if (mode & mask){std::cout << NOTE_MAP[i+12*dFlag] << "\t";}}std::cout << std::endl;
}

main函数

对每一次移位的结果，都进行打印即可。由于先前已有经验，升号调和降号调是交替出现的，所以在这里就可以很容易地判断出dFlag的值是true还是false：

int main()
{int mapSize = NOTE_MAP.size();int shift = 0;do{printModeInfo(MODE, (((shift <= 5) && (shift % 2)) || ((shift >= 8) && !(shift % 2))) ? true : false);shiftMode(MODE);shift += 1;}while (shift < 12);return 0;
}

运行结果及结论

运行后得到如下输出：

C    D   E   F   G   A   B
C   Db  Eb  F   Gb  Ab  Bb
C#  D   E   F#  G   A   B
C   D   Eb  F   G   Ab  Bb
C#  D#  E   F#  G#  A   B
C   D   E   F   G   A   Bb
C#  D#  F   F#  G#  A#  B
C   D   E   F#  G   A   B
C   Db  Eb  F   G   Ab  Bb
C#  D   E   F#  G#  A   B
C   D   Eb  F   G   A   Bb
C#  D#  E   F#  G#  A#  B

此即推导得到的12种调式，注意到升号和降号的数量是关于C大调对称的，用图像表示则更为直观：

沿着这个图像顺时针看，调式依次从C大调、降D大调、D大调……演变到B大调，最后再回到C大调。而这些大调，每一个都又有着相对应的小调，由于还没有找出规律，就不在这里描述了。

而对于C大调向上移动6个半音的调式——升F大调，则暂时难以在输出结果中得以理解。

而经过在overture和网上的查询，得知升F大调由六个升记号或六个降记号组成：

并且，E#=F，因为E和F之间只差一个半音。

由此一来，调式这个问题也就得到了一个比较清晰的解答。

完整代码

main.h

#include <map>
#include <string>using std::map;
using std::string;map<int, string> NOTE_MAP = {{0, "C",},{1, "C#",},{2, "D",},{3, "D#",},{4, "E",},{5, "F",},{6, "F#",},{7, "G",},{8, "G#",},{9, "A",},{10, "A#",},{11, "B",},{12, "C",},{13, "Db",},{14, "D",},{15, "Eb",},{16, "E",},{17, "F",},{18, "Gb",},{19, "G",},{20, "Ab",},{21, "A",},{22, "Bb",},{23, "B",}};int MODE = 0xAB5; //101010110101 <- reverse(101011010101)

main.cpp

#include <iostream>
#include <string>
#include "main.h"using std::map;
using std::string;void shiftMode(int &orgMode);
void printModeInfo(int &mode, bool dFlag);int main()
{int mapSize = NOTE_MAP.size();int shift = 0;do{printModeInfo(MODE, (((shift <= 5) && (shift % 2)) || ((shift >= 8) && !(shift % 2))) ? true : false);shiftMode(MODE);shift += 1;}while (shift < 12);return 0;
}/** brief 对调式向左（高音方向）移动一个单位** @param orgMode 原有的调式*/
void shiftMode(int &orgMode){orgMode <<= 1;orgMode = orgMode | !!((1 << 12) & orgMode);
}/** brief 打印调式的相关信息** @param mode 调式* @param dFlag 降号表示，默认为0，即升号*/
void printModeInfo(int &mode, bool dFlag = false){for (int i = 0; i < 12; i++){int mask = (1 << i);if (mode & mask){std::cout << NOTE_MAP[i+12*dFlag] << "\t";}}std::cout << std::endl;
}

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【日常篇】002_五线谱调式推导