算术关系和逻辑关系---皮尔斯逻辑之二

算术关系和逻辑关系—皮尔斯逻辑之二

皮尔斯语录摘引：
真理一词的另一种意义是指：出于纯科学考虑而暂时接受某一命题为真。如果绝对固守某一命题，这意思就是把个人命运与该命题捆绑在一起了。在科学中这样做，简直就是不希望学习了，这样的人应该排除在科学之外。
于是皮尔斯就有了比喻性的逻辑学第一规则：

为了学习，你必须首先渴望学习，而且在如此渴望学习的过程中，不要满足于你已有的思想倾向。这是理性的首要而且在某种意义上也是唯一的规则。由此，又产生出一种值得镌刻于哲学之城每一面墙壁上的重要推论：
不要阻扰探究之路。
（摘自：皮尔斯《推理及万物逻辑》第四讲，中译本第202页）
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一、皮尔斯的逻辑原创
200多年前，德国的莱布尼兹想到了二进制，从算术的加法想到了“逻辑加”。100多年前，英国的布尔独立地想到了类的全类和无类，独立地从“算术乘”想到了“逻辑乘”。由此，逻辑从经典开始走向现代，从哲学的一支演化为与数学联姻的现代逻辑。
逻辑的现代发展从布尔时代起，就加快了它前进的步伐。如同本篇开首引用的皮尔斯语录所讲，追求科学真理就是不断地学习、思考和评判，不断地突破前人的局限。这个唯一的有关科学的规则，很快就催生了一些数学家和逻辑学家，加速地把现代逻辑推向新的境界。紧跟布尔之后的逻辑学家，自然而然地要选择美国逻辑学家皮尔斯。
C.I.刘易斯（1883-1964）在论述皮尔斯的贡献时，曾颇为动情地描述，他对符号逻辑的贡献，比以往任何一个学者都要多种多样。皮尔斯从布尔和德摩根那里找到灵感，人们在其遗稿中，一而再，再而三地发现他的原创性贡献，仅就逻辑学而言，其贡献至少可以概括为以下三个部分。
第一个部分，布尔从算术运算的角度来解释逻辑，皮尔斯则跳出了算术运算的解释，引入了从逻辑角度来理解的关系。由此，推论关系，还有包含于关系，蕴涵关系就进入了符号逻辑，或者说现代逻辑的视野。
第二个部分，皮尔斯又从德摩根的研究中找到灵感，把关系作为一个逻辑对象来进行研究，弄出来一个关系逻辑。
第三个部分，皮尔斯还像莱布尼兹那样，把符号逻辑设想为一般性普适性的数学形式科学，由此而有了更为大胆更为恢宏的普遍符号学设想。
本篇开谈第一个部分：皮尔斯如何在布尔逻辑代数中构想他的算术关系和非算术关系，这里的非算术关系其实就是逻辑关系。
讨论关系这个对象，必须提到德摩根，德摩根因那个著名的德摩根定律而为人熟知。但现代逻辑还有一些基本概念来自于他，例如“论域”概念，“关系逻辑”的概念等等。
19世纪的欧洲各国逻辑学家对于“关系”这个对象的兴趣，如果追溯其起源，是从德摩根1859年的一篇论文开始的。该论文的题目是：《论三段论第四格和论关系的逻辑》。（见《逻辑学的发展》第540页）
皮尔斯把德摩根有关关系问题的讨论，推进到布尔和施罗德创建的逻辑代数之中。借助于算术关系和逻辑关系的对比，现代逻辑在布尔代数的基础上，因为逻辑关系概念的引入，又向前迈开了一大步。

二、皮尔斯的算术关系
人类最早的算术，大概还不能称之为术，只是一种数的感觉而已，数学史家在《数科学的语言》一书中称为“数觉“，这数觉的说法，很有神韵一般的道理。等到人类对数字的理解继续提升，实指的数字出现了零，人们关于数的思考大概才构成了算术，这应该是中世纪之后的事情了。
算术作为一种知识技能，其中最基本的运算就是加减乘除。算术可以说是一切数学的基础，而算术中的加法和减法，显然就是算术之基础的基础。
二个数字相加后的结果，例如3+2=5，表示3与2的和等于5，这好像无需考虑这些数之间的关系，即使有关系，这些数字也不过是互为独立的数字。
但当人们使用任意指代的变元，来表示任意数字的时候，这类算术的结果所引申的一些关系，似乎一下子就复杂了很多，这种带变元的算术，大概只能是高深的数论来研究的对象了。
可布尔却独辟蹊径，转换了一个常态角度，用一个全新的视角来思考算术，让“算术运算”扩充到数字之外的类。原来表示数字的变元，几乎就变幻为任意的对象或者类。于是，我们对于算术运算的经典理解，也就从数字计算扩展到了逻辑。因为逻辑推理中的“词项”或者“命题”，也可以看作是类或者对象的一个实例。于是，原先的算术关系，在布尔代数的演算之中，依然还可是算术关系。但没有想到的是，布尔的加减法可以是算术的延续，乘除法也可以说成是算术的延续，但它们又和算术运算存有一些差异。
布尔构建的逻辑代数，类与类之间的关系是算术运算构成的，所谓算术关系，就是由运算符号来决定的关系。
在布尔代数中，加法和减法是严格互逆的。
加法公式，以a+b为例，算术公式a+b表示的是两个类的和。这两个类合起来形成了a+b类，它表示：两个互为排斥的类a与类b构成了另一个类a+b。而减法，以a-b为例，它恰好和加法是互逆的，严格互逆的。两个互为排斥的类a与类b，若使用减法而形成的类a-b，那是在a中去掉了b那一部分，而a+b呢，则是在a中增加了b那一部分。
若有一个x=a-b，这个互逆的意味就很明显地显露出来。x是在a中去掉b的部分，把b补上，不就是x+b=a么？两边同时再加一个b，则是x+b+b=a+b，而因为x=a-b，这就又返回到同一公式a+b=a+b。
布尔代数中，乘法和除法也是严格互逆的。
但是，奇怪的是，这些关系在类型上，却并不相同。布尔的加法和减法非常接近于算术的加法和减法，它们如果还有区别，那区别仅在算术加减运算的对象是数字，而布尔代数的加减运算，则有可能是数字以外的对象，例如，运算的对象可能是“词项”或者“命题”等等。所以，布尔代数中的加法和减法所属的关系类型，就和一般算术的加法和减法的关系类型，没有什么区别，同属于算术关系。
然而，布尔没有想到的是，他代数中的乘法和除法，在关系类型上却不是那么简单。这两种运算，仅在数字限定在1和0的条件下，与一般算术保持一致。一旦超越了这两个数字，布尔代数中的乘除运算，若和一般算术的乘除运算相比较，就不是那么一致了。
这个问题，当时的许多欧洲学者都在思考，但出乎意料之外的是，远在欧洲之外的美国，却出了一个天才，那就是皮尔斯。世界很大，因为科学，这个世界变得小了许多。虽然远隔万里之遥，但异域万里之遥的美国人，也在思考同样的有关科学的问题。
皮尔斯那个时代的美国，科学与文化传统基本上追随欧洲。其实想想这世界的历史，从来都是追随先进而发展，没有固守野蛮和落后而发展的道理，不然哪会有进化？
皮尔斯一生痴迷于逻辑研究，1870年6月，作为美国海岸勘测中心科学考察队成员，皮尔斯出差欧洲9个月。在那里结识了英国逻辑学家德摩根，并在那里把他有关关系逻辑的论文交给了德摩根。论文的题目为：《关系逻辑的一种记号描述：布尔逻辑代数概念扩张》。其后，皮尔斯又有多篇论述“布尔代数”的论文。而在1898年，时隔近30年的皮尔斯剑桥演讲的第三讲中，他依然讲到关系项的逻辑。
C.I.刘易斯在他的《符号逻辑概览》一书中，依据皮尔斯先后发表的多篇评判布尔代数的论文，概括了皮尔斯为布尔代数所做的工作。
我们已经提到了布尔代数的加减法运算所形成的关系，与算术中的加减法运算基本一致，但有区别。乘除法则，却没有加减法那么幸运，我们不能简单地把它们看作是与算术运算完全类似的关系。
轮到皮尔斯的原创了，他引入了一个符号ￂ，来表示类符号之间的关系。由此，与算术关系相对应的就有了逻辑关系，或者称非算术关系。

三、皮尔斯的非算术关系或者说逻辑关系
在布尔系统之中，算术运算形成了类之间的算术关系。和算术关系对应的，则是皮尔斯为布尔代数创立的非算术关系，也称为逻辑关系。那么，这种逻辑关系，皮尔斯是怎么描述的呢？我们先从算术加开始。
一个算术公式a+b，如同前面所叙，表示的是：两个互为排斥的类a与类b构成了另一个类a+b。皮尔斯在这里稍作改动，他把这种算术关系换成了他所称的逻辑关系，把那个互相排斥的两个类，换成了相互包容的两个类。由此算术加变成为逻辑加的涵义，我们用符号⊕表示这种逻辑加。
1、逻辑加
a⊕b指谓这样的类，它或者是a，或者是b，或者是“既是a又是b”。
2、逻辑减
根据这个约定，a⊕b的逆运算，也就是a-b，他换了一个表示方式，表示为a ￂ b。这个运算符号，皮尔斯定义为：如果 x+b=a，那么x= a ￂ b。
于是，在一些假定之后，我们就获得有关逻辑关系运算的一些新结果。因为我们已经约定，a和b是相容的两个类，自然就可以做出如下假定。这两个假定得到了有关逻辑关系的两个新概念，一个是上限（upper limit），另一个是下限（lower limit）。─
3、上限
假定，a ￂ b =x，并且 a ￂ b =a，
那么，我们类似减法的运算a ￂ b就有了一个上限，这个上限就是a。
很显然，这里的上限是在b为空类的时候。
4、下限
我们现在来看下限。
假定，x⊕b=a 并且 a ￂ b =a-b，
那么，我们类似减法的运算a ￂ b就有了一个下限，这个下限就是a-b。
也很显然，这里的下限是在a与b相等的时候。
皮尔斯继续前行，为布尔代数设计了逻辑乘和逻辑除，什么是逻辑乘呢？
5、逻辑乘
逻辑乘运算ab，它表示这样的类，它是类a和类b共有的那些对象。
6、逻辑除
逻辑除运算a/b，它表示这样的类，它是逻辑乘的逆运算。a/b的结果就是使得，如果bx=a，那么，x=a/b。

这样，我们就有了属于算术关系的四种运算符号：+，-，╳，÷。也有了属于逻辑关系的四种运算符号：⊕，ￂ，*，/。对于这些具有逻辑关系的运算符号，前述布尔代数的基本法则全都成立。
皮尔斯的这个算术关系和逻辑关系的区分，他有关逻辑减符号的设想，对于德国的施罗德一定是个很大的启发。所以，这个德国人虽然没有见过皮尔斯，但看过皮尔斯有关算术关系和逻辑关系的论文，并在他写的逻辑代数一书中开始运用。所以，他在给皮尔斯的书信往来中盛赞，皮尔斯是如同莱布尼兹和亚里士多德一样闪耀着智慧光芒的学者（参见《皮尔斯传》第357页）
皮尔斯除了给布尔代数引入不同于算术关系的逻辑关系之外，还有许多值得我们学习、研究和发展的东西，我们必须学习。这就如同篇首引用的皮尔斯语录所说的，不要满足于你已有的思想倾向。这是理性的首要而且在某种意义上也是唯一的规则。不然，你就应该排除在科学之外2020/07/05

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