在做时间序列分析时，我们经常要对时间序列进行平稳性检验，而我们常用的软件是SPSS或SAS，但实际上python也可以用来做平稳性检验，而且效果也非常好，今天笔者就讲解一下如何用python来做时间序列的平稳性检验。首先我们还是来简单介绍一下平稳性检验的相关概念。

图1. 平稳性序列的相关公式时间序列的平稳性可分为严平稳和宽平稳。设{Xt}是一时间序列，对任意正整数m，任取t1、t2、t3、...、tm∈T，对任意整数τ，假如满足图1中式(1)，则称时间序列{Xt}是严平稳时间序列。而宽平稳的定义为，如果{Xt}满足以下三个条件：(1)任取t∈T，有E(Xt·Xt)

图2. 纱产量部分数据截图

图3. 纱产量时序图第二个例子是1962年1月至1975年12月平均每头奶牛月产奶量时间序列(数据来自网站http://census-info.us)，其数据如图4所示，序列图如图5所示。从图5中可以看出，平均每头奶牛的月产奶量以年为周期呈规则的周期性，此外还有明显的逐年递增趋势，所以该序列也一定不是平稳序列。

图4. 奶牛产量部分数据截图

图5. 奶牛产量时序图第三个例子是1949年至1998年北京市每年最高气温序列(数据来自北京市统计局)，其数据如图6所示，序列图如图7所示。从图7中可以看出，北京市每年的最高气温始终围绕在37度附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以视为平稳序列，但我们还需要利用自相关图进一步验证。

图6. 北京最高气温部分数据截图

图7. 北京最高气温时序图从上面的例子可以看出，时序图只能粗略来判断一个时间序列是否为平稳序列，我们可以用自相关图来更进一步检验。要画自相关图，我们就要用到python，下面是相关代码。import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

temperature = r'C:\Users\北京气温.xls'

milk = r'C:\Users\奶牛产量.xlsx'

yarn = r'C:\Users\纱产量.xls'

data_tem = pd.read_excel(temperature, parse_date=True)

data_milk = pd.read_excel(milk, parse_date=True)

data_yarn = pd.read_excel(yarn, parse_date=True)

plt.rcParams.update({'figure.figsize':(8,6), 'figure.dpi':100}) #设置图片大小

plot_acf(data_tem.Tem) #生成自相关图

plot_acf(data_milk.milk_yield)

plot_acf(data_yarn.yarn_yield)

plt.show()画自相关图用到的是statsmodels中的plot_acf方法，这个方法很简单，只需要直接输入数据即可，不过数据要是一维的，生成的3张图如图8、图9和图10所示。

图8. 纱产量自相关图

图9. 奶牛产量自相关图

图10. 北京最高气温自相关图平稳序列通常具有短期相关性，即随着延迟期数k的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零，而非平稳序列的自相关系数的衰减速度会比较慢，这就是我们利用自相关图判断平稳性的标准。我们就来看下这3张自相关图，图8是纱年产量的自相关图，其横轴表示延迟期数，纵轴表示自相关系数，从图中可以看出自相关系数衰减到零的速度比较缓慢，在很长的延迟期内，自相关系数一直为正，然后为负，呈现出三角对称性，这是具有单调趋势的非平稳序列的一种典型的自相关图形式。再来看看图9，这是每头奶牛的月产奶量的自相关图，图中自相关系数长期位于零轴一边，这是具有单调趋势序列的典型特征，同时还呈现出明显的正弦波动规律，这是具有周期变化规律的非平稳序列的典型特征。最后再来看下图10，这是北京每年最高气温的自相关图，图中显示该序列的自相关系数一直比较小，可以认为该序列一直在零轴附近波动，这是随机性较强的平稳序列通常具有的自相关图。最后我们再讲一下ADF方法。前面两种方法都是作图，图的特点是比较直观，但不够精确，而ADF法则是直接通过假设检验的方式来验证平稳性。ADF(全称Augmented Dickey-Fuller)是一种单位根检验方法，单位根检验方法比较多，而ADF法是比较常用的一种，其和普通的假设检验没有太大区别，都是列出原假设和备择假设。ADF的原假设(H0)和备择假设(H1)如下。H0：具有单位根，属于非平稳序列。H1：没有单位根，属于平稳序列，说明这个序列不具有时间依赖型结构。下面我们就用python代码来解释一下ADF的用法。from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

yarn_result = adfuller(data_yarn.yarn_yield) #生成adf检验结果

milk_result = adfuller(data_milk.milk_yield)

tem_result = adfuller(data_tem.Tem)

print('The ADF Statistic of yarn yield: %f' % yarn_result[0])

print('The p value of yarn yield: %f' % yarn_result[1])

print('The ADF Statistic of milk yield: %f' % milk_result[0])

print('The p value of milk yield: %f' % milk_result[1])

print('The ADF Statistic of Beijing temperature: %f' % tem_result[0])

print('The p value of Beijing temperature: %f' % tem_result[1])这里我们用的是statsmodels中的adfuller方法，其使用也比较简单，直接输入数据即可，但其返回值较多，返回的结果中共有7个值，分别是adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest和resstore，这7个值的意义大家可以参考官方文档，我们这里用到的是前两个，即adf和pvalue，adf就是ADF方法的检验结果，而pvalue就是我们常用的p值。我们的得到结果如图11所示。

图11. ADF检验结果在图11中，我们可以看到，纱产量、奶牛产量和北京气温的adf值分别是-0.016384、-1.303812和-8.294675，这个值理论上越负越能拒绝原假设，但我们在这里不用adf来判断，而是用p值。这3个p值分别是0.957156、0.627427和0.000000，以常用的判断标准值0.05作为参考，前两个p值都远大于0.05，说明其是支持原假设的，说明纱产量和奶牛产量都是非平稳序列，而北京气温序列的p值为零，说明是拒绝原假设，表明该序列是一个平稳序列。我们可以看到，利用adf法和前面两种方法得到的结果是一致的。本文比较详细地介绍了判断时间序列平稳性的3种方法，这3种方法在实际应用中是经常用到的，当然判断平稳性的方法还有很多种，大家如有需要也可以自行查找相关资料。