运输问题中产销不平衡问题（表上作业法和LINGO方法）

对于产销不平衡问题有两种情况：
　　供大于求（产大于销）→增加虚拟销地
　　供不应求（产小于销）→增加虚拟产地

例如以下例题：

1.这个问题可以采用笔算的方式：

表上作业法

↓

得到初始方案

↓

检验基变量个数是否为m+n-1个，若不是，则说明初始解退化，需要不足基变量个数（如填写一个数字同时满足了一厂一商，则需在同行或同列中填写一个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字）【注意：基可行解中不能有某个基变量独占一行一列】

↓计算位势值（*）

基于基变量的cij计算出vj和ui，根据公式：cij=vj+ui,可以令v1=0(随意设置)

↓

基于非基变量的表格，计算出非基变量检验数，σij=cij-（vj+ui）。

↓若σij全非负，则说明初始方案为最优方案，从而计算出运输费用。

若存在σij < 0 ，则说明初始方案不是最优方案，需要进行调整。首先在作业表上以xij为起始变量作出闭回路（其余顶点均为基变量，回路中每行每列只有两个变量）, 并求出调整量 ε: ε=min{该闭回路中偶数次顶点调运量xij}。

↓

以xij为起始变量，其余顶点为基变量的闭回路，1.闭回路之外的变量调运量不变，2.闭回路上：偶数号顶点的调运量减去ε，奇数号顶点的调运量加上ε。（*）

↓

重复计算（*）之间的步骤，直到非基变量检验数全部为非负时，方案为最优方案。

2.LINGO计算最优方案

sets:
supplys/1..3/: produce;
demands/1..4/: sell;
links(supplys, demands): c, x;
endsets
data:
produce = 15,20,20;
sell = 5,15,20,20;
c = 5 5 9 1011 8 13 125 8 6 11;
enddata
min = @sum(links(i,j): c(i,j) * x(i,j));
@for(supplys(i): @sum(demands(j): x(i,j)) = produce(i));
@for(demands(j): @sum(supplys(i): x(i,j)) <= sell(j));

运行结果如下：

  Global optimal solution found.Objective value:                              415.0000Infeasibilities:                              0.000000Total solver iterations:                             7Model Class:                                        LPTotal variables:                     12Nonlinear variables:                  0Integer variables:                    0Total constraints:                    8Nonlinear constraints:                0Total nonzeros:                      36Nonlinear nonzeros:                   0Variable           Value        Reduced CostPRODUCE( 1)        15.00000            0.000000PRODUCE( 2)        20.00000            0.000000PRODUCE( 3)        20.00000            0.000000SELL( 1)        5.000000            0.000000SELL( 2)        15.00000            0.000000SELL( 3)        20.00000            0.000000SELL( 4)        20.00000            0.000000C( 1, 1)        5.000000            0.000000C( 1, 2)        5.000000            0.000000C( 1, 3)        9.000000            0.000000C( 1, 4)        10.00000            0.000000C( 2, 1)        11.00000            0.000000C( 2, 2)        8.000000            0.000000C( 2, 3)        13.00000            0.000000C( 2, 4)        12.00000            0.000000C( 3, 1)        5.000000            0.000000C( 3, 2)        8.000000            0.000000C( 3, 3)        6.000000            0.000000C( 3, 4)        11.00000            0.000000X( 1, 1)        5.000000            0.000000X( 1, 2)        10.00000            0.000000X( 1, 3)        0.000000            0.000000X( 1, 4)        0.000000            1.000000X( 2, 1)        0.000000            3.000000X( 2, 2)        5.000000            0.000000X( 2, 3)        0.000000            1.000000X( 2, 4)        15.00000            0.000000X( 3, 1)        0.000000            3.000000X( 3, 2)        0.000000            6.000000X( 3, 3)        20.00000            0.000000X( 3, 4)        0.000000            5.000000Row    Slack or Surplus      Dual Price1        415.0000           -1.0000002        0.000000           -9.0000003        0.000000           -12.000004        0.000000           -6.0000005        0.000000            4.0000006        0.000000            4.0000007        0.000000            0.0000008        5.000000            0.000000

由此可知：

最优方案为：

运输费用为 415 。

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