1. 不变性微分算子

Hamilton 算子（Nabla 算子）又称作不变性微分算子，这是因为它对张量场所作微分运算的形式不随坐标系的改变而改变，如：在不同坐标系{Xi′−G⃗i′}\{\mathscr{X}^{i'}-\vec{\mathscr{G}}_{i'}\}{Xi′−Gi′}与{xi−g⃗i}\{x^i-\vec{g}_i\}{xi−gi} 中计算张量的梯度
▽T=G⃗i′∂T∂Xi′=G⃗i′(∂T∂xj∂xj∂Xi′)=(∂xj∂Xi′G⃗i′)∂T∂xj=(βi′jG⃗i′)∂T∂xj=g⃗j∂T∂xj\bigtriangledown\bold T =\vec{\mathscr{G}}^{i'}\dfrac{\partial\bold T}{\partial\mathscr{X}^{i'}} =\vec{\mathscr{G}}^{i'}\left(\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j}\frac{{\partial x^j}}{\partial\mathscr{X}^{i'}}\right) =\left(\frac{{\partial x^j}}{\partial\mathscr{X}^{i'}}\vec{\mathscr{G}}^{i'}\right)\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j} =(\beta^{j}_{i'}\vec{\mathscr{G}}^{i'})\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j} =\vec{g}^j\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j}▽T=Gi′∂Xi′∂T=Gi′(∂xj∂T∂Xi′∂xj)=(∂Xi′∂xjGi′)∂xj∂T=(βi′jGi′)∂xj∂T=gj∂xj∂T

2. 散度

对于 r(r≥1)r(r\ge 1)r(r≥1) 阶张量场 T\bold TT，定义：
左散度：▽⋅T≜g⃗i⋅∂T∂xi≜divT右散度：T⋅▽≜∂T∂xi⋅g⃗i左散度：\bigtriangledown\cdot\bold{T}\triangleq\vec{g}^i\cdot\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\triangleq div\bold T\\\ \\ 右散度：\bold{T}\cdot\bigtriangledown\triangleq\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\cdot\vec{g}^i左散度：▽⋅T≜gi⋅∂xi∂T≜divT 右散度：T⋅▽≜∂xi∂T⋅gi
显然，一般
▽⋅T≠T⋅▽\bigtriangledown\cdot\bold{T}\ne\bold{T}\cdot\bigtriangledown▽⋅T=T⋅▽
举例：

向量场的散度：
▽⋅v⃗=v⃗⋅▽=v;ii=v,ii+vjΓiji=v,ii+1g∂g∂xjvj=1g∂(gvj)∂xj\bigtriangledown\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\bigtriangledown=v^i_{;i} =v^i_{,i}+v^j\Gamma_{ij}^{i} =v^i_{,i}+\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial\sqrt{g}}{\partial x^j}v^j =\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial(\sqrt{g}v^j)}{\partial x^j}▽⋅v=v⋅▽=v;ii=v,ii+vjΓiji=v,ii+g1∂xj∂gvj=g1∂xj∂(gvj)
二阶张量场的散度：
▽⋅A=A;iijg⃗j=A∙ji∣;ig⃗jA⋅▽=A;jijg⃗i=Ai∙j∣;jg⃗i\bigtriangledown\cdot\bold{A}=A^{ij}_{;i}\vec{g}_j=A_{\bullet j}^{i}|_{;i}\vec{g}^{j}\\\ \\ \bold{A}\cdot\bigtriangledown=A^{ij}_{;j}\vec{g}_i=A^{\bullet j}_{i}|_{;j}\vec{g}^{i}▽⋅A=A;iijgj=A∙ji∣;igj A⋅▽=A;jijgi=Ai∙j∣;jgi
通过上式可知：对称二阶张量的左右散度相等。
三阶张量场的散度：
▽⋅T=A;iijkg⃗jg⃗kA⋅▽=A;jikjg⃗ig⃗k\bigtriangledown\cdot\bold{T}=A^{ijk}_{;i}\vec{g}_j\vec{g}_k\\\ \\ \bold{A}\cdot\bigtriangledown=A^{ikj}_{;j}\vec{g}_i\vec{g}_k▽⋅T=A;iijkgjgk A⋅▽=A;jikjgigk

书写规则:

由于梯度点乘时总是自带逆变基，因此为方便点积，将张量分量靠近Nabla 算子的指标取为逆变指标，从而省去度量张量的分量；
张量分量靠近Nabla 算子的指标与协变导数的坐标指标相同，其余指标与基向量的指标形成哑指标。

3. 旋度

对于 r(r≥1)r(r\ge 1)r(r≥1) 阶张量场 T\bold TT，定义：
左散度：▽×T≜g⃗i×∂T∂xi≜curlT=ϵ:(▽T)右散度：T×▽≜∂T∂xi×g⃗i=(T▽):ϵ左散度：\bigtriangledown\times\bold{T}\triangleq\vec{g}^i\times\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\triangleq curl\bold T=\epsilon:(\bigtriangledown\bold{T})\\\ \\ 右散度：\bold{T}\times\bigtriangledown\triangleq\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\times\vec{g}^i=(\bold{T}\bigtriangledown):\epsilon左散度：▽×T≜gi×∂xi∂T≜curlT=ϵ:(▽T) 右散度：T×▽≜∂xi∂T×gi=(T▽):ϵ
显然，一般
▽×T≠T×▽\bigtriangledown\times\bold{T}\ne\bold{T}\times\bigtriangledown▽×T=T×▽
举例：矢量场的旋度
▽×v⃗=vj;iϵijkg⃗k=(vj,i−vmΓjim)ϵijkg⃗k=vj,iϵijkg⃗k=1g∣g⃗1g⃗2g⃗3∂∂x1∂∂x2∂∂x3v1v2v3∣v⃗×▽=vj;iϵjikg⃗k=−▽×v⃗\bigtriangledown\times\vec{v}=v_{j;i}\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =(v_{j,i}-v_m\Gamma^m_{ji})\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =v_{j,i}\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =\frac{1}{\sqrt{g}}\begin{vmatrix} \vec{g}_1 & \vec{g}_2 & \vec{g}_3 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x^1} & \dfrac{\partial}{\partial x^2} & \dfrac{\partial}{\partial x^3} \\\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\\\ \\ \vec{v}\times\bigtriangledown=v_{j;i}\epsilon^{jik}\vec{g}_k=-\bigtriangledown\times\vec{v}▽×v=vj;iϵijkgk=(vj,i−vmΓjim)ϵijkgk=vj,iϵijkgk=g1∣∣g1∂x1∂v1g2∂x2∂v2g3∂x3∂v3∣∣ v×▽=vj;iϵjikgk=−▽×v

书写规则:

由于梯度点乘时总是自带逆变基，为方便叉积，将张量分量靠近Nabla 算子的指标取为协变指标，从而省去度量张量的分量；
旋度的分量由协变导数与置换张量的逆变分量组成。

命题 给定向量场 v⃗\vec{v}v，则反对称张量场
12(v⃗▽−▽v⃗)，12(−v⃗▽+▽v⃗)\dfrac{1}{2}(\vec{v}\bigtriangledown-\bigtriangledown\vec{v})，\dfrac{1}{2}(-\vec{v}\bigtriangledown+\bigtriangledown\vec{v})21(v▽−▽v)，21(−v▽+▽v)
的对偶矢量分别为:
ω⃗1=12(▽×v⃗)，ω⃗2=12(v⃗×▽)\vec{\omega}_1=\dfrac{1}{2}(\bigtriangledown\times\vec{v})，\vec{\omega}_2=\dfrac{1}{2}(\vec{v}\times\bigtriangledown)ω1=21(▽×v)，ω2=21(v×▽)

证明如下：
ω⃗=−14ϵ:(v⃗▽−▽v⃗)=−14(v⃗×▽−▽×v⃗)=12▽×v⃗\begin{aligned} &\vec{\omega}=-\dfrac{1}{4}\epsilon:(\vec{v}\bigtriangledown-\bigtriangledown\vec{v})\\\\ &\ \ =-\dfrac{1}{4}(\vec{v}\times\bigtriangledown-\bigtriangledown\times\vec{v})\\\\ &\ \ =\dfrac{1}{2}\bigtriangledown\times\vec{v} \end{aligned}ω=−41ϵ:(v▽−▽v) =−41(v×▽−▽×v) =21▽×v

4. Laplace 算子

定义 r(r≥1)r(r\ge 1)r(r≥1) 阶张量场 T\bold TT 的Laplace 算子：
▽2T=▽⋅(▽T)=div(gradT)\bigtriangledown^2\bold T=\bigtriangledown\cdot(\bigtriangledown \bold T)=div(grad\bold T)▽2T=▽⋅(▽T)=div(gradT)
若 ▽2T=0\bigtriangledown^2\bold T=0▽2T=0 则称 T\bold TT 是调和的。

举例：标量场的Laplace 算子
▽2ϕ=▽⋅(▽ϕ)=▽⋅(ϕ,ig⃗i)=gij(ϕ,i);j=gij(ϕ,ij+ϕ,mΓijm)=(gijϕ,i);j=(gijϕ,i),j+gimϕ,iΓmjj=(gimϕ,i),m+gimϕ,i1g∂g∂xm=1g∂(ggimϕ,i)∂xm\begin{aligned} &\bigtriangledown^2\phi=\bigtriangledown\cdot(\bigtriangledown\phi)=\bigtriangledown\cdot(\phi_{,i}\vec{g}^i)\\\\ &\quad\quad\ =g^{ij}(\phi_{,i})_{;j}=g^{ij}(\phi_{,ij}+\phi_{,m}\Gamma^m_{ij})\\\\ &\quad\quad\ =(g^{ij}\phi_{,i})_{;j}=(g^{ij}\phi_{,i})_{,j}+g^{im}\phi_{,i}\Gamma^j_{mj}\\\\ &\quad\quad\ =(g^{im}\phi_{,i})_{,m}+g^{im}\phi_{,i}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^m}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial (\sqrt{g}g^{im}\phi_{,i})}{\partial x^m} \end{aligned}▽2ϕ=▽⋅(▽ϕ)=▽⋅(ϕ,igi) =gij(ϕ,i);j=gij(ϕ,ij+ϕ,mΓijm) =(gijϕ,i);j=(gijϕ,i),j+gimϕ,iΓmjj =(gimϕ,i),m+gimϕ,ig1∂xm∂g=g1∂xm∂(ggimϕ,i)

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1. 不变性微分算子

2. 散度

3. 旋度

4. Laplace 算子

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