能力提升综合题单 Part 8.7 图的连通性相关

P3387 【模板】缩点
P3388 【模板】割点（割顶）
P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G
P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S
P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools
P1407 [国家集训队]稳定婚姻
P2272 [ZJOI2007]最大半连通子图
P3225 [HNOI2012]矿场搭建
P5058 [ZJOI2004]嗅探器
P2515 [HAOI2010]软件安装

1.P3387 【模板】缩点

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
int n,m;
int dq[maxn],ru[maxn],dis[maxn],a[maxm],b[maxm];
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;vector<int>e[maxm];
vector<int>g[maxm];
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;//入栈 vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){if(!dfn[e[u][i]]){tarjan(e[u][i]);low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);}else if(vis[e[u][i]]){low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);}}if(low[u]==dfn[u]){int y;while(y=z[k--]){color[y]=u;    //属于这个连通分量 cnt[t]++;         //记录这个环中有多少个点vis[y]=0;if(u==y)break;dq[u]+=dq[y];}}
}
int topo(){queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++){if(color[i]==i&&!ru[i]){q.push(i);dis[i]=dq[i];}}while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=0;i<g[u].size();i++){int v=g[u][i]; ru[v]--;dis[v]=max(dis[v],dis[u]+dq[v]);if(ru[v]==0){q.push(v);}}}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++){res=max(res,dis[i]);}return res;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&dq[i]);}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);a[i]=u;b[i]=v;}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int i=1;i<=m;i++){int x=color[a[i]],y=color[b[i]];if(x!=y){g[x].push_back(y);ru[y]++;}}cout<<topo();return 0;
}

2.P3388 【模板】割点（割顶）

3.P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G

缩点+割点模板

4.P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S

纯模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
int n,m;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;
vector<int>e[maxm];
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;//入栈 vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){if(!dfn[e[u][i]]){tarjan(e[u][i]);low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);}else if(vis[e[u][i]]){low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);}}if(low[u]==dfn[u]){t++;//连通分量的标号 do{color[z[k]]=t;    //属于这个连通分量 cnt[t]++;         //记录这个环中有多少个点vis[z[k]]=0; k--;              //出栈 }while(u!=z[k+1]);}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<e[i].size();j++){if(color[i]!=color[e[i][j]])du[color[i]]++;}}int ans=0;for(int i=1;i<=t;i++){if(cnt[i]>1)ans++;}cout<<ans;return 0;
}

5.P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools

kuangbin联通性专题t1

6.P1407 [国家集训队]稳定婚姻

题目给出的夫妻和情侣都是双向边的该怎么办呢
一个很棒的思路：一种男->女连边，另外一一种女->男连边
然后缩点，如果在这对情侣在同一个强联通分量里面的话就有问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+5,maxm=5e4+5;
unordered_map<string,int>mp;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],t,k,tot;
int n,m;
vector<int>e[maxm];
string mb[maxn],mg[maxn];
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];if(!dfn[v]){tarjan(v);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(vis[v]){low[u]=min(low[u],dfn[v]);}}if(low[u]==dfn[u]){t++;do{color[z[k]]=t;cnt[t]++;vis[z[k]]=0;k--;}while(u!=z[k+1]);}
}
int main(){cin>>n;int cx=0;string s1,s2;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s1>>s2;mp[s1]=i;mp[s2]=i+n;e[i].push_back(i+n);}cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>s1>>s2;e[mp[s2]].push_back(mp[s1]);}for(int i=1;i<=n*2;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int i=1;i<=n;i++){if(color[i]==color[i+n]){printf("Unsafe\n");}else printf("Safe\n");}return 0;
}

7.P2272 [ZJOI2007]最大半连通子图

这个题的题意硬是看了半天都没有看懂
如果有u到v的一条边的话称u和v为半联通，求最大的半联通子图
既然有有一条边就是半联通的话，那缩点自然也是半联通
先缩点
然后DAG上DP
因为tarjan缩点完自带逆拓扑序，所以直接倒着遍历就是拓扑序

dp时的转移：

            if(ans[v]<ans[u]+cnt[v]){ans[v]=ans[u]+cnt[v];tiao[v]=tiao[u];}else if(ans[v]==ans[u]+cnt[v]){tiao[v]+=tiao[u];tiao[v]%=mod;}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e6+5;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],t,k,tot;
int n,m,mod,ans[maxn],use[maxn],tiao[maxn];
vector<int>e[maxm];
int head[maxn];
struct edge{int v,nex;
}ee[maxm];
int bs;
void add(int u,int v){ee[++bs].v=v;ee[bs].nex=head[u];head[u]=bs;
}
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];if(!dfn[v]){tarjan(v);low[u]=min(low[u],low[v]);}else if(vis[v]){low[u]=min(low[u],dfn[v]);}}if(low[u]==dfn[u]){t++;do{color[z[k]]=t;cnt[t]++;vis[z[k]]=0;k--;}while(u!=z[k+1]);}
}
int main(){cin>>n>>m>>mod;int u,v;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int u=1;u<=n;u++){ans[u]=cnt[u];tiao[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];if(color[u]==color[v])continue;add(color[u],color[v]);}}for(int u=t;u>=1;u--){for(int i=head[u];i;i=ee[i].nex){int v=ee[i].v;if(use[v]==u)continue;use[v]=u;if(ans[v]<ans[u]+cnt[v]){ans[v]=ans[u]+cnt[v];tiao[v]=tiao[u];}else if(ans[v]==ans[u]+cnt[v]){tiao[v]+=tiao[u];tiao[v]%=mod;}}}int mm=0;int tt=0;for(int i=1;i<=t;i++){if(mm<ans[i]){mm=ans[i];tt=tiao[i];}else if(mm==ans[i]){tt+=tiao[i];tt%=mod;}}cout<<mm<<endl<<tt;return 0;
}

8.P3225 [HNOI2012]矿场搭建

这题需要分情况讨论
样例1：

可以看出点1是割点，然后我们分析样例的答案：
Case 1 的四组解分别是(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)；
割点两边各取一个点

样例2：

图中1 2 3是割点，取法唯一
Case 2 的一组解为(4,5,6,7)。

样例3：

割点是4 6 10
来分析一下怎么样统计需要多少个救援点和有多少种安排法

当一个联通块里没有割点时候，例如一个环，只要安排两个救援点，这时候不管切断哪个点，其他点都能继续连通，方案数为Cn2\mathrm{C}_n^2Cn2

    if(c==0){gs+=2;ans*=(ds-1)*ds/2;}

当一个联通块里有一个割点，比如样例一：1 ,2，3，5，6这个联通块，就需要在里面选一个非割点的点作为救援点

    if(c==1){gs+=1;ans*=ds;}

当一个联通块里有两个或者两个以上的割点，如样例3的4，5，6这个联通块，并不需要做任何处理，因为这两个以上个割点，在其他联通块已经把救援点处理好了，不管断哪个点都能互相联通

还有一个坑点就是一开始并没有给出点的数量，需要自己在输入过程中维护
还有%lld 惨痛RE
完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=4e5+5;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],t,top,tot;
int cut[maxn],n,m,head[maxn],len;
struct edge{int v,nex;
}e[maxm];
inline void add(int u,int v){e[++len].v=v;e[len].nex=head[u];head[u]=len;
}
void tarjan(int u,int root){int child=0;dfn[u]=low[u]=++tot;for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){int v=e[i].v;if(!dfn[v]){tarjan(v,root);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root)cut[u]=1;if(u==root)child++;}low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(u==root&&child>=2){cut[root]=1;}
}
int c,ds,color;
void dfs(int u){ds++;vis[u]=color;for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){int v=e[i].v;if(cut[v]&&vis[v]!=color){vis[v]=color;c++;}if(vis[v]==0)dfs(v);}return;
}
void init(){memset(head,0,sizeof head);memset(dfn,0,sizeof dfn);memset(cut,0,sizeof cut);memset(vis,0,sizeof vis);memset(low,0,sizeof low);color=0;len=0,t=0,top=0,tot=0;
}
signed main(){int tt=1;while(scanf("%lld",&n),n){init();int zdd=0;long long ans=1;long long gs=0;int u,v;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&u,&v);add(u,v);add(v,u);zdd=max(zdd,u);zdd=max(zdd,v);}for(int i=1;i<=zdd;i++){if(!dfn[i])tarjan(i,i);}for(int i=1;i<=zdd;i++){if(vis[i]==0&&cut[i]==0){ds=0;c=0;color++;dfs(i);if(c==1){gs+=1;ans*=ds;}if(c==0){gs+=2;ans*=(ds-1)*ds/2;}}}printf("Case %lld: %lld %lld\n",tt++,gs,ans);}return 0;
}

9.P5058 [ZJOI2004]嗅探器

这个题其实比较套路
读懂题之后发现是要找到一个割点，让st和ed在两边，且编号最小
要怎么实现st和ed在两边呢？
直接拿st建树来求割点，找到割点后，判断ed的dfn是否大于等于割点u所连点v，如果符合，st和ed就必定是在割点的两边，直接在tarjan的过程中特判一下就好

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,maxm=1e6+5;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],t,top,tot;
int cut[maxn],n,m,head[maxn],len,st,ed;
struct edge{int v,nex;
}e[maxm];
inline void add(int u,int v){e[++len].v=v;e[len].nex=head[u];head[u]=len;
}
void tarjan(int u,int root){int child=0;dfn[u]=low[u]=++tot;z[++top]=u;for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){int v=e[i].v;if(!dfn[v]){tarjan(v,root);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root&&dfn[ed]>=dfn[v])cut[u]=1;if(u==root)child++;}low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(u==root&&child>=2){cut[root]=1;}
}
int main(){cin>>n;int u,v;while(scanf("%d%d",&u,&v),u+v){add(u,v);add(v,u);}scanf("%d%d",&st,&ed);tarjan(st,st);for(int i=1;i<=n;i++){if(cut[i]&&i!=st){cout<<i;return 0;}}printf("No solution");return 0;
}

10.P2515 [HAOI2010]软件安装

树形DP还没学会，先咕咕咕

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