1 问题建模

首先对待研究的问题建立数学模型
在倒立摆模型分析这篇文章里，我们已经做了完整的受力分析。最终得到了关于系统变量的微分方程。
(M+m)x¨+bx˙−mlψ¨=u(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}= u(M+m)x¨+bx˙−mlψ¨=u
(I+ml2)ψ¨−mglψ=mlx¨(I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi = ml\ddot{x}(I+ml2)ψ¨−mglψ=mlx¨

2 状态空间

可以将状态空间理解为一个包含系统输入、系统输出和状态变量的集合，它们之间的关系可以用一个一阶微分方程表达出来。

状态空间（集合）={系统输入系统输出状态变量}=一阶微分方程状态空间（集合）=\left\{ \begin{aligned} 系统输入\\ 系统输出\\ 状态变量 \end{aligned} \right\}=一阶微分方程状态空间（集合）=⎩⎪⎨⎪⎧系统输入系统输出状态变量⎭⎪⎬⎪⎫=一阶微分方程
通过观察我们知道，目前系统模型是以二阶微分方程的形式描述的。为了消除方程中的高阶项，可以整理得到下面的式子。
{x˙=x˙x¨=m2l2gI(m+M)+mMl2ψ−b(I+ml2)I(m+M)+mMl2x˙+(I+ml2)I(m+M)+mMl2uψ˙=ψ˙ψ¨=mlg(m+M)I(m+M)+mMl2ψ−mlbI(m+M)+mMl2x˙+mlI(m+M)+mMl2u\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=\dot{x}\\ \ddot{x}=\frac{m^2l^2g}{I(m+M)+mMl^2} \psi-\frac{b(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2} \dot{x}+\frac{(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2}u\\ \dot{\psi}=\dot{\psi}\\ \ddot{\psi}=\frac{mlg(m+M)}{I(m+M)+mMl^2}\psi-\frac{mlb}{I(m+M)+mMl^2}\dot{x}+\frac{ml}{I(m+M)+mMl^2}u \end{array}\right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x˙=x˙x¨=I(m+M)+mMl2m2l2gψ−I(m+M)+mMl2b(I+ml2)x˙+I(m+M)+mMl2(I+ml2)uψ˙=ψ˙ψ¨=I(m+M)+mMl2mlg(m+M)ψ−I(m+M)+mMl2mlbx˙+I(m+M)+mMl2mlu
已知系统状态空间方程的标准形式为：
{x˙=Ax+Buy=Cx+Du\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{array}\right. {x˙=Ax+Buy=Cx+Du
式中x˙\dot{x}x˙表示系统中的一阶微分项，yyy表示系统状态。以矩阵运算的形式表示系统的状态空间方程：
[x˙x¨ψ˙ψ¨]=[01000−b(I+ml2)I(m+M)+mMl2m2l2gI(m+M)+mMl2000010−mlbI(m+M)+mMl2mlg(m+M)I(m+M)+mMl20]×[xx˙ψψ˙]+[0(I+ml2)I(m+M)+mMl20mlI(m+M)+mMl2]u\begin{bmatrix} \dot{x}\\ \ddot{x}\\ \dot{\psi}\\ \ddot{\psi} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{b(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2} & \frac{m^2l^2g}{I(m+M)+mMl^2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{mlb}{I(m+M)+mMl^2} & \frac{mlg(m+M)}{I(m+M)+mMl^2} & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ \dot{x}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ \frac{(I+ml^2)}{I(m+M)+mMl^2}\\ 0\\ \frac{ml}{I(m+M)+mMl^2} \end{bmatrix} u ⎣⎢⎢⎡x˙x¨ψ˙ψ¨⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡00001−I(m+M)+mMl2b(I+ml2)0−I(m+M)+mMl2mlb0I(m+M)+mMl2m2l2g0I(m+M)+mMl2mlg(m+M)0010⎦⎥⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡xx˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎡0I(m+M)+mMl2(I+ml2)0I(m+M)+mMl2ml⎦⎥⎥⎥⎤u
y=[10000010]×[xx˙ψψ˙]+[0]×uy= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ \dot{x}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \end{bmatrix} \times u y=[10000100]×⎣⎢⎢⎡xx˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+[0]×u

3 LQR控制器设计

L（Linear）Q（Quadratic）R（Regulator），直译为线性二次型控制器。
可以通过加入反馈，使系统最终能达到稳定状态，但如何选取最好的系统特征值（极点）在系统收敛的前提下实现最优的收敛过程，这是我们目前要考虑的问题。
这里我们引入目标函数（价值函数），使系统在收敛的同时，满足JJJ最小：
J=∫t0tf[XTQX+UTRU]dtmin(J)J=\int ^{t_f}_{t_0}[X^TQX+U^TRU]dt\\ min(J) J=∫t0tf[XTQX+UTRU]dtmin(J)

QQQ是一个对角矩阵，XTQX=ax12+bx22+cx32+......X^TQX=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+......XTQX=ax12+bx22+cx32+......，当系统中的状态变量x≠0x≠0x=0时，我们可以通过调节QQQ中元素的值来改变该变量的对JJJ的影响。QQQ中较大的一项对应在收敛过程中优先考虑的系统变量。
同理，UTRUU^TRUUTRU则代表了系统输入UUU对价值函数JJJ的影响。因为JJJ是积分的形式，当矩阵RRR中某一项较大，则意味着我们希望该项对应的系统输入能够快速收敛到0。这么做的现实意义往往是以最小的代价（例如能耗）实现系统的稳态。
式子中代表系统输入的UUU在一个能够实现自稳定的系统中（例如我们这里设计的倒单摆系统）代表控制器反馈回路的输出。

们目前涉及的倒立摆系统只有一个输入，即倒立摆所受到的外部牵引力UUU，所以矩阵RRR仅有一个元素。另外有四个系统状态变量，分别是x,x˙,ψ,ψ˙x,\dot{x},\psi,\dot{\psi}x,x˙,ψ,ψ˙，因此对角矩阵QQQ的规模为4×44\times44×4。
在MATLAB中，我们可以调用lqr()lqr()lqr()函数生成满足JJJ最小的反馈矩阵KKK。KKK对应的就是各个系统变量反馈路径中的增益。即：
U=[K1,K2,K3,K4]×[xx˙ψψ˙]U=[K_1, K_2, K_3, K_4]\times\begin{bmatrix} x\\ \dot{x}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix}U=[K1,K2,K3,K4]×⎣⎢⎢⎡xx˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤

下图是倒立摆开环系统的阶跃响应。显然系统是不收敛的。

引入LQR反馈后系统的阶跃响应

4 MATLAB 代码

clc;
clear;
close all;% Parameters:
%   m: mass of pendulum (kg)
%   M: mass of cart (kg)
%   b: dampling coefficient
%   I: rotional inertia
%   g: acceleration of gravity
%   L: the distance from mass center to the hingem = 3.375;
M = 5.40;
b = 0.01;
I = 0.0703125;
g = 9.80665;
L = 0.25;%  create transfer function model
s = tf('s');q = (m + M) * (I + m * L^2) - (m * L)^2;P_cart = (((I + m * L^2) / q) * s^2 - (m * g * L / q)) / ...(s^4 + (b * (I + m * L^2)) * s^3 / q - ((M + m) * m * g * L) * s^2 / q - b * m * g * L * s / q);P_pend = (m * L * s / q) / ...(s^3 + (b * (I + m * L^2)) * s^2 / q - ((M + m) * m * g * L) * s / q - b * m * g * L / q);sys_tf = [P_cart; P_pend];inputs = {'u'};
outputs = {'x'; 'phi'};
set(sys_tf,'InputName',inputs);
set(sys_tf,'OutputName',outputs);sys_tf% create state-space model
p = I * (m + M) + m * M * L^2;A = [0, 1, 0, 0;0, -b * (I + m * L^2) / p, (m^2 * L^2 * g) / p, 0;0, 0, 0, 1;0, -(m * L * b) / p, m * L * g * (M + m) / p, 0];B = [0;(I + m * L^2) / p;0;m * L / p];C = [1, 0, 0, 0;0, 0, 1, 0];D = [0;0];% definitions of system variables
states = {'x' 'x_dot' 'phi' 'phi_dot'};
inputs = {'u'}; outputs = {'x'; 'phi'};sys_ss = ss(A, B, C, D, 'statename', states, 'inputname', inputs, 'outputname', outputs);% poles of open loop system
poles = pole(sys_tf);
poles% impulse response of system
t = 0: 0.01: 1;
impulse(sys_ss, t);% step response of system
t = 0: 0.01: 1;
step(sys_ss, t);% LQR simulation
% Q matrix of LQR controller
Q = [1000, 0, 0, 0;0, 0, 0, 0;0, 0, 500, 0;0, 0, 0, 0];R = 0.1;% optimal gain matrix K
K = lqr(A, B, Q, R);Ac = A - B * K;
sys_lqr = ss(Ac, B, C, D, 'statename', states, 'inputname', inputs, 'outputname', outputs);% impulse response of system
t = 0: 0.01: 2;
impulse(sys_lqr, t);100% step response of system
t = 0: 0.01: 3;
step(sys_lqr, t);

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