一、理论基础

1、算术优化算法

算术优化算法(Arithmetic Optimization Algorithm, AOA)根据算术操作符的分布特性来实现全局寻优，是一种元启发式优化算法。算法分为三部分，通过数学优化器加速函数选择优化策略，乘法策略与除法策略进行全局搜索，提高解的分散性，增强算法的全局寻优与克服早熟收敛能力，实现全局探索寻优。开发阶段利用加法策略与减法策略降低解的分散性，有利于种群在局部范围内充分开发，加强算法的局部寻优能力。

（1）初始化阶段

AOA的优化过程从一组候选解(XXX)开始，如式(1)所示，这些候选解是随机生成的，每次迭代中的最佳候选解被视为获得的最佳解或迄今为止的近似最优解。X=[x1,1⋯⋯x1,jx1,n−1x1,nx2,1⋯⋯x2,jx2,n−1x2,n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋮xN−1,1⋯⋯xN−1,j⋯xN−1,nxN,1⋯⋯xN,jxN,n−1xN,n](1)X=\begin{bmatrix} x_{1,1} & \cdots & \cdots & x_{1,j} & x_{1,n-1} & x_{1,n} \\ x_{2,1} & \cdots & \cdots & x_{2,j} & x_{2,n-1} & x_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{N-1,1} & \cdots & \cdots & x_{N-1,j} & \cdots & x_{N-1,n} \\ x_{N,1} & \cdots & \cdots & x_{N,j} & x_{N,n-1} & x_{N,n} \end{bmatrix}\tag{1}X=⎣⎡x1,1x2,1⋯⋮xN−1,1xN,1⋯⋯⋯⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋮⋯⋯x1,jx2,j⋯⋮xN−1,jxN,jx1,n−1x2,n−1⋯⋮⋯xN,n−1x1,nx2,n⋯⋮xN−1,nxN,n⎦⎤(1)AOA通过数学优化器加速函数(Math Optimizer Accelerated, MOA)选择搜索阶段，当r1>MOAr_1>MOAr1>MOA时，AOA进行全局探索，当r1<MOAr_1<MOAr1<MOA时，AOA进入局部开发阶段。MOA(t)=Min+t×(Max−MinT)(2)MOA(t)=Min+t×\left(\frac{Max-Min}{T}\right)\tag{2}MOA(t)=Min+t×(TMax−Min)(2)其中，r1r_1r1代表0到1之间的随机数，MinMinMin与MaxMaxMax分别是加速函数的最小值和最大值，为0.2和1。

（2）探索阶段

AOA通过乘法运算与除法运算实现全局搜索，当r2>0.5r_2>0.5r2>0.5时，执行除法搜索策略，否则，执行乘法搜索策略，其位置更新公式如下：X(t+1)={Xb(t)÷(MOP+ε)×((UB−LB)×μ+LB),r2>0.5Xb(t)×MOP×((UB−LB)×μ+LB),r2≤0.5(3)X(t+1)=\begin{dcases}X_b(t)÷(MOP+\varepsilon)×((UB-LB)×\mu+LB),r_2>0.5\\X_b(t)×MOP×((UB-LB)×\mu+LB),\quad\quad\,\,\, r_2\leq0.5\end{dcases}\tag{3}X(t+1)={Xb(t)÷(MOP+ε)×((UB−LB)×μ+LB),r2>0.5Xb(t)×MOP×((UB−LB)×μ+LB),r2≤0.5(3)其中，r2∈[0,1]r_2\in[0,1]r2∈[0,1]，μ\muμ是调整搜索过程的控制参数，值为0.499，ε\varepsilonε为极小值，数学优化器概率(Math Optimizer Probability, MOP)(如图1所示)计算公式如下：MOP(t)=1−t1αT1α(4)MOP(t)=1-\frac{t^{\frac1\alpha}}{T^{\frac1\alpha}}\tag{4}MOP(t)=1−Tα1tα1(4)其中，α\alphaα是敏感参数，定义了迭代过程中的局部开发精度，取值为5。

图1 数学优化器概率曲线图

（3）开发阶段

AOA利用加法运算与减法运算实现局部开发，位置更新公式如下：X(t+1)={Xb(t)−MOP×((UB−LB)×μ+LB),r3>0.5Xb(t)+MOP×((UB−LB)×μ+LB),r3≤0.5(5)X(t+1)=\begin{dcases}X_b(t)-MOP×((UB-LB)×\mu+LB),r_3>0.5\\X_b(t)+MOP×((UB-LB)×\mu+LB),r_3\leq0.5\end{dcases}\tag{5}X(t+1)={Xb(t)−MOP×((UB−LB)×μ+LB),r3>0.5Xb(t)+MOP×((UB−LB)×μ+LB),r3≤0.5(5)其中，r3r_3r3为[0,1][0,1][0,1]的随机数。

2、算术优化算法(AOA)的伪代码

图2 AOA算法伪代码

二、仿真实验与分析

将AOA与GWO、SCA和WOA进行对比，AOA参数设置如第一节所示。为了更准确的验证所提算法与对比算法的优劣性，设定种群规模N=30N=30N=30，维度D=10D=10D=10，最大迭代次数为500，各算法独立运行30次，各算法参数设置与原文献一致。以文献[1]中的F1~F5为例。
结果显示如下：

函数：F1
GWO：best: 1.3305e-69,worst:1.3277e-61,mean:4.6063e-63,std:2.4213e-62
SCA：best: 5.19e-20,worst:7.6592e-11,mean:4.6613e-12,std:1.4616e-11
WOA：best: 3.1e-91,worst:2.0794e-77,mean:1.4271e-78,std:4.6428e-78
AOA：best: 0,worst:1.4069e-283,mean:4.6895e-285,std:0
函数：F2
GWO：best: 3.4374e-39,worst:2.7874e-36,mean:3.0562e-37,std:5.7549e-37
SCA：best: 1.6297e-12,worst:3.2899e-08,mean:2.2499e-09,std:6.035e-09
WOA：best: 3.5874e-61,worst:9.9506e-52,mean:4.6096e-53,std:1.8851e-52
AOA：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
函数：F3
GWO：best: 3.4434e-30,worst:5.1223e-24,mean:3.7524e-25,std:1.0476e-24
SCA：best: 2.413e-08,worst:0.12386,mean:0.0043233,std:0.022579
WOA：best: 0.0061823,worst:1407.0217,mean:221.6468,std:352.294
AOA：best: 0,worst:2.3197e-314,mean:7.7323e-316,std:0
函数：F4
GWO：best: 2.9587e-21,worst:7.1641e-18,mean:7.0815e-19,std:1.3765e-18
SCA：best: 2.4999e-06,worst:0.019411,mean:0.0010942,std:0.0035595
WOA：best: 0.00018126,worst:14.1995,mean:3.5162,std:4.4943
AOA：best: 0,worst:6.3401e-123,mean:2.1134e-124,std:1.1575e-123
函数：F5
GWO：best: 5.6622,worst:8.3538,mean:6.2751,std:0.54266
SCA：best: 6.4971,worst:8.1146,mean:7.5187,std:0.41923
WOA：best: 6.2757,worst:8.9567,mean:6.9797,std:0.56355
AOA：best: 6.0705,worst:7.2897,mean:6.6426,std:0.28928

实验结果表明，AOA算法能够有效地平衡全局探索和局部开发能力，具有良好的鲁棒性以及寻优精度。

三、参考文献

[1] Laith Abualigah, Ali Diabat, Seyedali Mirjalili, et al. The Arithmetic Optimization Algorithm[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2021, 376: 113609.
[2] 贾鹤鸣, 刘宇翔, 刘庆鑫, 等. 融合随机反向学习的黏菌与算术混合优化算法[J]. 计算机科学与探索, 2022, 16(5): 1182-1192.

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