第六章

6.0 基础
- 1）2的n次方：
- 2）分数转化二进制：
6.1 计算机中数的表示
- 0）原码转换：
- 1）特殊数的补码：
- 2）原码反码的特殊：
- 3）移码：
- 4）双符号数：
6.2 定点机的表示及运算
- 1）定点机的表示范围：
- 2）有关相反数的二进制：
- 3）算术移位与逻辑移位：
- 4）原码一位乘法：
- 5）原码两位乘法：
- 6）原码一位乘与两位乘的比较：
- 7）补码一位乘法：
- 8）乘法例题：
6.3 浮点数的运算
- 1）规格化浮点数：
- 2 ）基值：
- 3）IEEE 754标准：

6.0 基础

1）2的n次方：

2⁴ =16；2⁶=64；2⁷=128；2¹⁰=1024；2¹⁵=32768；2¹⁷=131072。

2）分数转化二进制：

以 13/128 为例：

13/128 = 0+0+0+8/128 + 4/128 +0+ 1/128

所以二进制为：0.0001101 （7位数值位）

6.1 计算机中数的表示

0）原码转换：

原码转换成补码，反码，移码和做算术移位时一定要考虑正负。

1）特殊数的补码：

2）原码反码的特殊：

（原，反，补正数相同）

         原             反
+0：0,000          0,000
- 0：1,000          1,111
-1.0 无原码或反码  但是机器数1.000的原码是-0，反码是−7/8，补码是-1

3）移码：

(1) 移码与补码符号位相反
(2) 移码与对应补码表示范围相同
(3) 移码只用于表示整数，用来比较大小

4）双符号数：

最高符号位表示正负，次一级符号位表示是否溢出，如果是01或者10就是溢出，数值位进行读数。

6.2 定点机的表示及运算

1）定点机的表示范围：

假设数值部分位数为n

例题：字长8位（含1位符号位）的小数和整数定点机，其对应真值范围：

2）有关相反数的二进制：

一个数的相反数的补码计算：这个数无论是原码还是补码，有符号数还是无符号数，有一位符号还是两位符号，都是连符号位一起取反加一

3）算术移位与逻辑移位：

逻辑移位（无符号数移位）：

左移，低位添0，高位移丢，右移，高位添0，低位移丢。

算术移位（有符号数移位）：

4）原码一位乘法：

例：已知x=-0.1110 y=0.1101 求 [x·y]原

a. 符号位做异或运算，最后给结果即可。

b. 数值计算：
原理：（x^*是被乘数的绝对值，y^*是乘数的绝对值，y_n 是y^*的第几位数）

原码做乘法运算需要两个寄数器（二者的机器字长相同），一个进行加法运算，一个是乘商寄数器用于存放起始的乘数以及后面右移（逻辑移位）得到的数，最终是乘法结果的低位数，部分积存放乘法结果的高位数，最终结果是符号异或后的结果部分积乘数这样的叠加形式，比如这道题的结果为 1.10110110，用两个寄数器的好处就是机器字长的要求需要大大减小，有利于硬件的使用。

5）原码两位乘法：

原码两位乘运算规则：（右移是补码的算术右移，x^* （-x^*）在操作时是[x^* （-x^*）]补)

符号位：异或运算求正负

数值位：
1.算前写出绝对值被乘数，2倍绝对值被乘数，负绝对值被乘数的补码
2. 应该是乘数右移两位，所以需要补到偶数，对应被乘数需要比乘数位数多且一次补两位

例：已知 x = 0.111111 y = – 0.111001 求[xꞏy]原

先写：[x^∗ ]补 = 000.111111 [〖2x〗^∗ ]补 =001.111110 [-x^∗ ]补 = 111.000001
[y^∗ ]补= 00.111001

符号位：+ ⊕ − = −;

数值位：

补码算术右移

所以，结果为：1.111000000111

6）原码一位乘与两位乘的比较：

7）补码一位乘法：

补码一位乘法的运算规则：（右移是算术右移）

符号位：补码乘法符号位带入运算

数值位：
1.算前写出被乘数和她的相反数的补码，以及乘数的补码
2.被乘数需要双符号位防溢出
3.乘数需要补0，与被乘数对齐，所以最后多余的一位不参与运算弃掉

例：已知二进制数x=0.1011，y=-0.1101，用补码一位乘法计算[x*y]补

先写 [x]补=11.0101 [-x]补=00.1011 [y]补=1.0011

所以，结果为：0.10001111

乘法的原理： 其实在仔细了解了原码一位乘，原码两位乘和补码一位乘之后，会发现计算时第一步总是初态0直接进行部分积的运算，而没有先移位，第二步开始先移位再进行部分积的运算，最后一步略有区别，原码一位乘需要再右移一位部分积，而原码两位乘法和补码一位乘法只需要将符号位和多出来的位数丢掉即可。当然我们需要知道出现上述状况的原因：是因为机器其实是先进行乘数尾数的判断，再移位，但是之所以用上面的方法计算是因为方便简单，不容易出错，所以做乘法，核心是记要移几位，以及她们部分积的操作规则。

8）乘法例题：

（看看你会做吗？）

已知x=0.111111 y=-0.111001 分别用原码一位乘法，原码两位乘法，补码一位乘法求[x*y]原

答案见文章结尾

6.3 浮点数的运算

1）规格化浮点数：

阶码用移（补）码，尾数用补码的范围：

例：浮点数字长16位，其中阶码4位（含1位阶符），尾数12位（含1位数符），将十进制−43/128 转换成二进制规格化浮点数及机器数（其中阶码采用移码，基值为2，尾数采用补码），并回答此浮点格式的规格化数表示范围。

a. 二进制规格化浮点数：2^(−1)∗1.101011；

b. 机器数：（考察机器数时考虑机器字长+浮点数机器数表示方法）0,111；1.01010100000

c. 规格化表示范围：

2 ）基值：

a.什么是基值：我们知道浮点数 N = r^E×M E是阶码，用二进制表示，M是尾数，r叫基底，r的值叫基值。

b.基值的应用（如果浮点数基值改变分析的方法）：

例：设浮点数字长32位，其中阶码8位（含1位阶符），尾数24位（含1位数符），当阶码的基值分别是2和16时
（1）说明2和16在浮点数中如何表示；
（2）当阶码和尾数均为补码表示，且尾数采用规格化表示时，给出两种情况下所能表示的最大正数真值和非零最小真值。

（1）基值为2和16在浮点数表示形式上完全相同，阶码和尾数均用二进制表示，但是在对阶码和规格数操作时，若基值为16，每当阶码加一或减一，尾数要相应移4位。在基数为16的规格化操作时，只要尾数小数点后四位（16进制等于四位二进制数，如果是基数为8，即为小数点后三位）不为零，便算规格化。

（2）
最大正数真值：16¹²⁷ *（1-2⁽⁻²³⁾）
非零最小真值：16⁽⁻¹²⁸⁾ * （2⁽⁻⁴⁾）满足基数为16的规格化数的最小值为0.0001

3）IEEE 754标准：

尾数部分隐藏了最高位1，所以尾数数值应为1.XXXXX（将1.隐去，尾数取XXXXX）

例：请将十进制33.758以IEEE754 单精度格式表示，并写成十六进制数的形式。

单精度验证工具：
http://www.binaryconvert.com/convert_float.html.

本文参考：
https://blog.csdn.net/yaowanliang/article/details/89102815.

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1）特殊数的补码：

2）原码反码的特殊：

3）移码：

4）双符号数：

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1）定点机的表示范围：

2）有关相反数的二进制：

3）算术移位与逻辑移位：

4）原码一位乘法：

5）原码两位乘法：

6）原码一位乘与两位乘的比较：

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