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download YALMIP
根据tutorials添加路径即可，或者运行如下安装code

cd YALMIPfolderShouldbeHere
urlwrite('https://github.com/yalmip/yalmip/archive/master.zip','yalmip.zip');
unzip('yalmip.zip','yalmip')
addpath(genpath([pwd filesep 'yalmip']));
savepath

测试安装

yalmiptest

安装求解器:
mosek求解器安装，mosek求解器license申请

yalmiptest('mosek')

SeDuMi求解器安装

yalmiptest('sedumi')

SDPT3安装

yalmiptest('sdpt3')

Gurobi的安装，需要申请license
CPLEX的安装

问题定义及求解

sdpvar定义变量
sdpsettings定义约束，目标函数以及求解设置
optimize求解问题
使用mosek求解器求解问题

% 定义变量
x = sdpvar(10, 1);% 定义约束条件
Constraints = [sum(x)<=10, x(1)==0, 0.5<=x(2)<=1.5];
% 循环添加约束
for i=1:7Constraints = [Constraints, x(i)+x(i+1)<=x(i+2)+x(i+3)];
end% 定义目标函数
Objective = x'*x+norm(x, 1);% 设置求解器选项(quadprog, mosek, sedumi, sdpt3)
options = sdpsettings('verbose', 1, 'solver', 'mosek');% 求解
sol = optimize(Constraints, Objective, options);% 查看求解返回状态
if sol.problem==0solution = value(x)
elsedisplay('Some Errors');sol.infoyalmiperror(sol.problem)
end

变量定义

定义一个n×mn\times mn×m的矩阵

P=sdpvar(n, m);

默认定义一个n×nn\times nn×n的矩阵是对称阵，使用参数full进行参数化

P=sdpvar(3, 3, 'full')

定义特殊矩阵

x=sdpvar(n, 1);
D=diag(x);
H = hankel(x);
T = toeplitz(x);

支持矩阵合成操作

P = sdpvar(3,3) + diag(sdpvar(3,1));
X = [P P;P eye(length(P))] + 2*trace(P);
Y = X + sum(sum(P*rand(length(P)))) + P(end,end)+hankel(X(:,1));

约束条件

定义对称矩阵且具有正定约束为

n=3;
P=sdpvar(n, n);
C=[P>=0];

定义对称矩阵且元素为正

P=sdpvar(n, n);
C=[P(:)>=0];

Note that this defines the off-diagnoal constraints twice. A good SDP solver will perhaps detect this during preprocessing and reduce the model, but we can of-course define only the unqiue elements manually using standard MATLAB code.

C=[triu(P)>=0]; % triu()函数表示返回矩阵的上三角部分

或者

C=[P(find(triu(ones(n))))>=0]

多个约束条件的拼接

P=sdpvar(n, n);
C=[P>=0]+[P(1, 1)>=2];
C=[P>=0, P(1, 1)>=2];

约束定义支持双侧表示

F=[0<=P(1, 1)<=2]

Strict inequalities cannot be used (YALMIP warn) as they have no meaning when doing optimization with numerical solvers, as theses solvers always work with numerical tolerances anyway. Hence, if you need the upper bound to be strict, you have to select a margin.
Note that selection of this margin is a tricky issues. To small and it will make no difference as it will drown in the general tolerances solvers use to define constraints as close enough to feasible, and too large might reduce your feasible space too much.

tol = 1e-5
F=[0<=P(1,1)<=2-tol];

多个约束条件可以使用循环定义

F=[0<=P(1,1)<=2];
for i=2:n-1F=[F, P(i,1)<=P(2, i)-P(i, i)];
end

参考资料

YALMIP BASIS

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