损失函数、梯度和学习率的理解及用python实现梯度下降法

机器学习的最终目标就是获得泛化能力，而什么是泛化能力呢，就是指处理未被观察过的数据（非训练数据）的能力。

一、为何要引入损失函数

损失函数就是评估一个学习器“恶劣程度”的指标——即描述了当前学习器对训练数据在多大程度上不拟合、不一致。所谓让机器通过“学习”数据信息从而产生一个学习器的过程，就是去寻找最优参数，使得损失函数达到极小甚至最小的过程。
而这一过程如何实现？——答案就是求导，而导数就是所谓的“梯度”。

举个例子：假设 y k y_k yk 表示一个学习器的预测结果， t k t_k tk 表示该数据的实际值，假设以均方误差为损失函数，那么损失函数可以表示为： E = 1 2 ∑ k = 1 n ( y k − t k ) 2 E=\frac{1}{2}\sum^{n}_{k=1}(y_k-t_k)^2 E=21k=1∑n(yk−tk)2
而 y k y_k yk是由训练数据和模型参数 β , α \beta,\alpha β,α共同决定的，可以表示为 y k = f ( x ; β , α ) y_k = f(x;\beta,\alpha) yk=f(x;β,α)
因此，损失函数可以表示为
L ( x ; β , α ) = 1 2 ∑ k = 1 n ( f ( x ; β , α ) − t k ) 2 L(x;\beta,\alpha)=\frac{1}{2}\sum^{n}_{k=1}( f(x;\beta,\alpha)-t_k)^2 L(x;β,α)=21k=1∑n(f(x;β,α)−tk)2
训练的任务就是要找到最优的 β , α \beta,\alpha β,α的值，使得 L ( x ; β , α ) L(x;\beta,\alpha) L(x;β,α)达到极小或最小，数学上如何求极小值/最小值？答案就是求导。
那么求导得到的“导数”（即梯度）是什么意义呢？它表示“如果稍稍改变权重参数的值，损失函数的值会如何变化”。如果导数的值为负，那么通过使模型参数正向变化，可以减小损失函数的值；如果导数的值为正，那么通过使模型参数负向变化，可以减小损失函数的值。而当导数为0时，无论模型的参数往什么方向变化，损失函数的值都不会改变。

那么问题来了，机器学习的最终目的是获得泛化性，也就是要提高预测或识别的精度，为什么不以精度为学习的目标，反而整一个损失函数为目标函数呢？
试想这样一个场景，假设有100条训练数据（测试数据也行~），如果有目前的预测精度为0.32，那么表示当前有32条数据预测正确。这时，如果我们微调模型参数，会有什么结果呢？
（1）调节的幅度过于微小，预测精度没有任何改善，还是0.32.
（2）预测精度有所改善，本来能预测对32个，现在预测对了33个，精度变为了0.33.
显然，精度对微小的参数变化基本上没有什么反应，即便有反应，它的值也是不连续的、突然的变化。就好比，当前精度是0.32，我们没法通过调参使其达到0.325；而如果当前损失函数是0.32，我们可以让其达到值域内的任意值，0.325, 0.3256，0.32567…
总结一下就是——精度是不连续的函数，而损失函数是连续型的函数；如果用精度最为目标，绝大多数地方的导数都将为0，参数将无法更新。

二、梯度和学习率

上文已经提及，梯度就是对损失函数求导的导数值，它表示“如果稍稍改变权重参数的值，损失函数的值会如何变化”。我们想要损失函数往最小的方向走，那么梯度的方向就是各点处函数值减小最多的方向。注意，梯度的方向并不一定指向最小值，但在每一点处，沿着梯度可以最大限度地减小损失函数的值。
像这样，通过不断沿着梯度方向前进，逐渐减小函数值的过程，就是梯度法。梯度法是解决机器学习最优化问题的常见方法。我们通过公式来描述梯度法，参数的迭代过程可以描述为
β = β − η ∂ f ∂ β \beta=\beta-\eta\frac{\partial{f}}{\partial{\beta}} β=β−η∂β∂f α = α − η ∂ f ∂ α \alpha=\alpha-\eta\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}} α=α−η∂α∂f
其中， η \eta η表示每次迭代的更新量，被称为学习率。它决定在一次学习中应该学习多少，以及在多大程度上更新参数。学习率是一个超参数（不能通过数据训练得到，而需要人工设定的参数），一般这个值过大或过小都无法抵达一个“好的位置”。

三、用Python简单实现一个梯度下降算法

【例】使用梯度法求解 f ( x 0 , x 1 ) = x 0 2 + x 1 2 f(x_0, x_1)=x_0^2+x_1^2 f(x0,x1)=x02+x12的最小值。
【求解】
step 1、首先定义一个求梯度的函数

import numpy as np
def gradient(f,x):h = 1e-4 #h是求导时自变量的差值，设为很小的常数即可grad = np.zeros_like(x) #for idx in range(x.size):tmp_val = x[idx]x[idx] = tmp_val + h fxh1 = f(x) #计算f(x+h)x[idx] = tmp_val - h fxh2 = f(x) #计算f(x-h)grad[idx] = (fxh1 - fxh2)/(2*h)x[idx] = tmp_val #还原return grad

step 2、定义一个函数用于实现梯度下降的过程

def descent(f, init_x, lr = 0.01, step_num = 100): x = init_xfor i in range(step_num): #step_num为迭代次数grad = gradient(f, x) #求梯度x -= lr*grad #每次迭代用学习率乘以梯度return x

step 3、定义待求解函数并初始化输出 x 0 x_0 x0和 x 1 x_1 x1的最小值

def func(x):return x[0]**2 + x[1]**2init_x = np.array([-3.0, 4.0])
descent(func, init_x = init_x, lr = 0.1, step_num = 100)

最终的输出结果为

array([-6.11110793e-10,  8.14814391e-10])

最终结果非常接近于0，这是正确的。这里可以做一个实验，如果学习率过大或过小，都不会得到接近于0的结果：

print(descent(func, init_x = init_x, lr = 10, step_num = 100))
print(descent(func, init_x = init_x, lr = 1e-10, step_num = 100))

输出结果如下，可见学习率过大的话，最终会发散成一个很大的值；而学习率过小的话，基本上没怎么更新就结束了。

[-2.58983747e+13   -1.29524862e+12]
[-2.99999994   3.99999992]

本文参考了《深度学习——基于python的理论与实践》
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