1 概述

2 传统的集合运算

2.1并（union）

2.2差 (expect）

2.3交（intersection）

2.4笛卡尔积（cartesian product）

2.5 例题分析

3.专门的关系运算

3.1选择(selection)

3.2投影（projection）

3.3 连接（join）

3.4 除运算（division）

3.5 例题

1 概述

关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。
任何运算的三大基本要素都是运算对象、运算符、运算结果。关系代数运算对象是关系，运算结果也是关系。关系代数的运算符包括两类：集合运算符和专门的关系运算符。如表1

表1 关系代数运算符
运算符		含义
集合运算符	∪	并
	-	差
	∩	交
	×	笛卡尔积
专门的关系运算符		选择
		投影
		连接
	÷	除

2 传统的集合运算

传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。

设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，t是元组变量，表示t是R的一个元组。
可以定义并、差、交、笛卡尔积运算如下：

2.1并（union）

关系R与关系S的并记做

其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。

2.2差 (expect）

其结果仍为n目关系,由属于R而不属于S的所有元组组成。

2.3交（intersection）

关系R与关系S的交记做

其结果仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。

2.4笛卡尔积（cartesian product）

这里的笛卡尔积严格地讲应该是广义的笛卡尔积，因为这里的笛卡尔积的元素是元组。

两个分别为n目和m目的关系R和S的笛卡尔积是一个(n+m）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的笛卡尔积有k1×k2个元组。记作

图1 传统的集合运算示意图

2.5 例题分析

问：已知T1时刻某港口内船舶集合为A，T1 + △t时刻该港口内船舶集合为B，请用关系代数求取△t时间内进港和出港船舶的集合。

问题分析及解答：
△t时刻发生了两件事 S1集合的船进港，S2集合的船出港，剩下的船不动，因此对于S1进港船舶，它属于B不属于A，用差运算可以表示B-A；同理，对于S2出港船舶，它属于A不属于B，用差运算可以表示A-B
△t时间内进港船舶B-A
△t时间内出港船舶A-B
进港和出港船舶的总集合（B-A）∪（A-B）

3.专门的关系运算

3.1选择(selection)

选择又称为限制（restriction）它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作

其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”
选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算。

设有一个学生-课程库，包括学生关系student、课程关系course和选修关系selectedcourse如图2

例1：查询课程名为数学的课程信息：
mysql代码表示

SELECT * FROM course
WHERE course_name = '数学';

关系代数表示：

结果为:

3.2投影（projection）

关系R上的投影是从关系R中选择出若干属性列组成新的属性。记作

其中A为R中的属性列，投影操作是从列的角度进行的运算

例2：查询学生的姓名和所选课程号
mysql代码表示

SELECT student_id, course_id FROM selectedcourse;

关系代数表示：

结果为：

3.3 连接（join）

连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
记作：

其中，A和B分别为R和S上列数相等且可比的属性组，θ是比较运算符。连接运算符从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。

连接运算中有两组最为重要和常用的连接，即等值连接和自然连接
θ为“=”的连接运算为等值连接。它是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为

自然连接是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉，若R和S中具有相同的属性组B，U是全体集合，自然连接可记作

3.4 除运算（division）

除操作同时从行和列的角度进行运算，需要用到象集的概念，后续可以补充

3.5 例题

请用关系代数表示这样一个查询：查询选修了课程号为10001和10003课程的学生学号。

mysql表示：

SELECT student_id FROM selectedcourse
WHERE course_id = 10001 OR course_id = 10003;

关系代数表示：

结果：

本文的主要理论来自于教材《数据库系统概论》第五版王珊萨师煊著 P47-P56

本文的SQL查询结果截图自本地数据库，操作界面Navicat

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