题意

有一个长度为n(n≤5∗104)n(n\le 5*10^4)n(n≤5∗104)的只包含数字和?的字符串sss，?中可以填上任意数字。一种合法的填数方案必须满足，一个长度为m(m≤20)m(m\le 20)m(m≤20)的ttt是sss的子串（必须连续）。

把所有合法的方案看成10进制数，有q(q≤105)q(q\le 10^5)q(q≤105)个询问，每次询问求第k(k≤1018)k(k\le 10^{18})k(k≤1018)小的数对109+710^9+7109+7取模。

思路

容易想到数位DP。

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示sss的前i−1i-1i−1位已经确定，第iii到nnn位待定，已经匹配了ttt的前j−1j-1j−1位的合法填数方案数。特别的，当j=m+1j=m+1j=m+1时表示已经匹配了一个ttt，在接下来填数的过程中无需考虑ttt为子串的限制。

在询问中从高位到低位依次枚举sss的每一个?位填什么。对于每一位，从0到9枚举，假如枚举这一位是iii，而kkk大于这一位放iii的方案数，就不可能走iii，把这种情况的方案数减掉，继续枚举，直到kkk小于等于这位放jjj的方案数，就给这一位填上jjj，枚举下一位。单次询问O(n)O(n)O(n)。

这样能够得到50分的好成绩。

上述做法处理询问太过缓慢，要想办法优化。然后就是题解思路了。。。

把每个dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]的状态看成一个点，状态转移看成一条单向边，那么整个DP的过程就可以看成是一张DAG。考虑重链剖分喵喵喵，假如一个点有多条连边，就选DP值最大的那个作为重儿子。可以像树上重链剖分一样说明，只要跳一次轻链，跳到的节点包含的合法方案数至少是当前的2倍。在重链上倍增，设r[i][j][w]r[i][j][w]r[i][j][w]表示从dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]这个状态，沿着重儿子跳2w2^w2w步能跳到的地方，顺便再记一下跳这么多步之后kkk需要减掉的值（参考上面的O(n)O(n)O(n)做法），再记一下这其中选的数对答案的贡献。

可以发现单次询问的复杂度变成了O(log⁡klog⁡n)O(\log k \log n)O(logklogn)，log⁡k\log klogk是链的条数，log⁡n\log nlogn是重链上倍增，那就可以过此题了。

注意

方案数可能非常大，但是由于询问只有101810^{18}1018，所以方案数大于101810^{18}1018的都赋值成1018+110^{18}+11018+1。

然后为了防止链剖的O(log⁡k)O(\log k)O(logk)退化成O(log⁡方案数)O(\log 方案数)O(log方案数)，在儿子的方案数都是101810^{18}1018的时候，选当前位放的iii最小的那个。

代码

以solve1()（50分）作为参考来看solve2()（优化后）就非常清晰了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
typedef long long LL;
const LL inf = 1e18;
const int N = 5e4 + 10, M = 20 + 5, E = 20;
const int mod = 1e9 + 7;
int T, n, m, q, to[M][10], po[N], val[N], sum, w[N][M][E];
pii r[N][M][E];
LL f[N][M], g[N], h[N][M][E];
char s[N], t[M];int fail[N];
void KMP()
{fail[1] = 0;for (int i = 2; i <= m; ++ i){int j = fail[i-1];while (j && t[j + 1] != t[i]) j = fail[j];if (t[j + 1] == t[i]) fail[i] = j + 1;else fail[i] = 0;}for (int i = 1; i <= m; ++ i)for (int j = 0; j <= 9; ++ j){if (j == t[i] - '0') to[i][j] = i + 1;else if (i == 1) to[i][j] = 1;else to[i][j] = to[fail[i-1]+1][j];}for (int i = 0; i <= 9; ++ i)to[m+1][i] = m+1;
}LL dfs(int u, int v)
{if (f[u][v] != -1) return f[u][v];if (u > n) return f[u][v] = v > m;if (s[u] == '?'){f[u][v] = 0;for (int i = 0; i <= 9; ++ i){ // 不特判f[u][v] += dfs(u + 1, to[v][i]);if (f[u][v] > inf) f[u][v] = inf + 1;}}else f[u][v] = dfs(u + 1, to[v][s[u] - '0']);return f[u][v];
}void init()
{po[n] = 1;for (int i = n-1; i >= 1; -- i)po[i] = 10LL * po[i + 1] % mod;for (int i = 1; i <= n; ++ i)if (s[i] != '?')val[i] = 1LL * po[i] * (s[i] - '0') % mod;memset(f, -1, sizeof(f));
}int solve1(LL k) // 50 pts
{if (k > f[1][1] || f[1][1] == 0) return -1;int v = 1, ans = 0;for (int u = 1; u <= n; ++ u){if (s[u] == '?'){for (int i = 0; i <= 9; ++ i){ // 大家好像都没有特判开头的0，那我也不判了。。。if (f[u + 1][to[v][i]] < k)k -= f[u + 1][to[v][i]];else{v = to[v][i];(ans += 1LL * i * po[u] % mod) %= mod;break;}}}else{v = to[v][s[u] - '0'];(ans += val[u]) %= mod;}}return ans;
}void init2()
{memset(r, 0, sizeof(r));memset(h, 0, sizeof(h));memset(w, 0, sizeof(w));for (int u = n; u >= 1; -- u)for (int v = m+1; v >= 1; -- v){if (f[u][v] == -1) f[u][v] = 0;if (s[u] != '?'){r[u][v][0] = mp(u + 1, to[v][s[u]-'0']);h[u][v][0] = 0;w[u][v][0] = 1LL * (s[u] - '0') * po[u] % mod;}else{LL now = 0;for (int i = 0; i <= 9; ++ i){if (f[u + 1][to[v][i]] > h[u][v][0]){r[u][v][0] = mp(u + 1, to[v][i]);h[u][v][0] = now;w[u][v][0] = 1LL * i * po[u] % mod;}now += f[u + 1][to[v][i]];if (now > inf) break;}}for (int i = 1; i < E; ++ i){r[u][v][i] = r[r[u][v][i-1].fi][r[u][v][i-1].se][i-1];h[u][v][i] = h[u][v][i-1] + h[r[u][v][i-1].fi][r[u][v][i-1].se][i-1];if (h[u][v][i] > inf) h[u][v][i] = inf + 1;w[u][v][i] = (w[u][v][i-1] + w[r[u][v][i-1].fi][r[u][v][i-1].se][i-1]) % mod;if (r[u][v][i].fi == 0) h[u][v][i] = inf + 1;}}
}int solve2(LL k)
{if (k > f[1][1] || f[1][1] == 0) return -1;int u = 1, v = 1, ans = 0;
//  int NNN = 0;while (u <= n){for (int i = E-1; i >= 0; -- i){int nu = r[u][v][i].fi;int nv = r[u][v][i].se;if (h[u][v][i] < k && h[u][v][i] + f[nu][nv] >= k){(ans += w[u][v][i]) %= mod;k -= h[u][v][i];u = nu; v = nv;}}if (u > n) break;if (s[u] == '?'){for (int i = 0; i <= 9; ++ i){if (f[u + 1][to[v][i]] < k)k -= f[u + 1][to[v][i]];else{v = to[v][i];(ans += 1LL * i * po[u] % mod) %= mod;break;}}}else{if (v <= m) v = to[v][s[u] - '0'];(ans += val[u]) %= mod;}u++;}return ans;
}int main()
{for (scanf("%d", &T); T--; ){scanf("%d%d", &n, &q);scanf("%s%s", t + 1, s + 1);m = strlen(t + 1);KMP();init();dfs(1, 1);init2();for (; q--; ){LL k;scanf("%lld", &k);printf("%d\n", solve2(k));}}return 0;
}
/*
1
6 1
133
?6??3?
6*/

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