离散数学：n元素上的各种关系数目

写在开头
关系R的解释
- 笛卡尔积
n元素集合上有多少个子集?——2n2^n2n
- 方法一（归纳推理）：
- 方法二（特征向量法）：
n元素集合上有多少个不同的关系?——2n22^{n^2}2n2
n元素集合上有多少个自反关系?——2n2−n2^{n^2-n}2n2−n
n元素集合上有多少个反自反关系?——2n2−n2^{n^2-n}2n2−n
n元素集合上有多少个对称关系?——2(n2+n)/22^{(n^2+n)/2}2(n2+n)/2
n元素集合上有多少个反对称关系?——2n∗3(n2−n)/22^n*3^{(n^2-n)/2}2n∗3(n2−n)/2
n元素集合上有多少个自反又对称关系?——2(n2−n)/22^{(n^2-n)/2}2(n2−n)/2
n元素集合上有多少个反自反又对称关系?——2(n2−n)/22^{(n^2-n)/2}2(n2−n)/2
n元素集合上有多少个既不自反又不反自反但对称关系?——(2n−2)∗2(n2−n)/2(2^n-2)*2^{(n^2-n)/2}(2n−2)∗2(n2−n)/2
n元素集合上有多少个既不自反又不反自反关系?——2n2−2∗2n2−n2^{n^2}-2*2^{n^2-n}2n2−2∗2n2−n
写在结尾

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关系R的解释

假设有集合A，这里的关系R指的是从A到A上的二元关系，即R为A与自身的笛卡尔积：A×A的子集。

笛卡尔积

假如有集合：A={1,2,3,4}A=\lbrace1,2,3,4\rbraceA={1,2,3,4}
则有A×A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}A×A=\lbrace(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ \qquad \qquad \qquad(2,1),(2,2),(2,3),(2,4) ,\\ \qquad\qquad \qquad(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ \qquad \qquad \qquad(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\rbraceA×A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
表示为关系矩阵：
A×A={1111111111111111}A×A=\begin{Bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{Bmatrix} A×A=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1111111111111111⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

n元素集合上有多少个子集?——2n2^n2n

方法一（归纳推理）：

假设集合:An={a1,a2,……,an}A_n = \lbrace a_1,a_2,……,a_n\rbraceAn={a1,a2,……,an}
n = 1; 子集个数为2，2^1，{∅,a1}\lbrace\varnothing ,a_1\rbrace{∅,a1}
n = 2; 子集个数为4，2^2，{∅,a1,a2,(a1,a2)}\lbrace\varnothing ,a_1,a_2,(a_1,a_2)\rbrace{∅,a1,a2,(a1,a2)}
n = 3; 子集个数为8，2^3，{∅,a1,a2,a3,(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,a2,a3)}\lbrace\varnothing ,a_1,a_2,a_3,(a_1,a_2),(a_1,a_3),(a_2,a_3),(a_1,a_2,a_3)\rbrace{∅,a1,a2,a3,(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,a2,a3)}
n = ……
则，n元素集合的子集共有2n2^n2n个

方法二（特征向量法）：

建立n元素集合的特征向量，每个元素位置标0或者1，1代表原则此元素
特征向量的种类数即为n元素集合的子集个数
每个元素位置可填0或1，有n个元素，即n个2相乘，即2n2^n2n

n元素集合上有多少个不同的关系?——2n22^{n^2}2n2

首先算一下n元素集合的二元关系的总数，每个元素都可以和所有元素（包括自己）组成二元关系，即：总的二元关系数：n2n^{2}n2
则关系R为总的二元关系的子集，根据上面的求解，即n元素集合上不同的关系数量为：
2n22^{n^2} 2n2

n元素集合上有多少个自反关系?——2n2−n2^{n^2-n}2n2−n

计算在恒等关系的基础上再添加二元关系构成的新的集合数目
即将下列矩阵上的某个或多个0，改为1后，得到的矩阵个数
恒等关系举例：IA={1000010000100001}恒等关系举例：I_A=\begin{Bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{Bmatrix} 恒等关系举例：IA=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1000010000100001⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

我们可以看到有n2−nn^2-nn2−n个0
我们的问题转化为：求有n2−nn^2-nn2−n个元素集合的子集个数
利用上面得到的n元素集合上子集的个数为：2n2^n2n
则，n2−nn^2-nn2−n个元素集合的子集个数为：2n2−n2^{n^2-n}2n2−n

所以：n元素集合上自反关系数为：2n2−n2^{n^2-n}2n2−n

n元素集合上有多少个反自反关系?——2n2−n2^{n^2-n}2n2−n

反自反关系就是特征矩阵主对角线全为0，所以问题转化后与上一个问题相同，
同样是求有n2−nn^2-nn2−n个元素集合的子集个数。

n元素集合上有多少个对称关系?——2(n2+n)/22^{(n^2+n)/2}2(n2+n)/2

可以将(x,y)和(y,x),x≠y(x,y)和(y,x),x \ne y(x,y)和(y,x),x=y看作一部分，也就是(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个
再加上主对角线的部分nnn个，那么一共是(n2−n)2+n=(n2+n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}+n=\tfrac{(n^2+n)}{2}2(n2−n)+n=2(n2+n)个
问题转化为求有(n2−n)2+n=(n2+n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}+n=\tfrac{(n^2+n)}{2}2(n2−n)+n=2(n2+n)个元素集合的子集个数
那么一共是2(n2+n)/22^{(n^2+n)/2}2(n2+n)/2

n元素集合上有多少个反对称关系?——2n∗3(n2−n)/22^n*3^{(n^2-n)/2}2n∗3(n2−n)/2

可以将(x,y),x≠y(x,y),x \ne y(x,y),x=y看作特征部分，也就是(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个
那么这部分中每个有序对(x,y)(x,y)(x,y)，对应三种状态(y,x),(x,y)(y,x),(x,y)(y,x),(x,y)和∅\varnothing∅
我们只取其中一种状态，即：3(n2−n)/23^{(n^2-n)/2}3(n2−n)/2
主对角线部分不受限制：共有2n2^n2n种
组合数为：2n∗3(n2−n)/22^n*3^{(n^2-n)/2}2n∗3(n2−n)/2

n元素集合上有多少个自反又对称关系?——2(n2−n)/22^{(n^2-n)/2}2(n2−n)/2

上面已经推过对称关系，不过此时的主对角线元需要全部选中
依旧将(x,y)和(y,x),x≠y(x,y)和(y,x),x \ne y(x,y)和(y,x),x=y看作一部分，也就是(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个
主对角线此时只有一种状态，1
问题转化为1×有(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个元素集合的子集个数
即：1×2(n2−n)/2=2(n2−n)/21×2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2-n)/2}1×2(n2−n)/2=2(n2−n)/2

n元素集合上有多少个反自反又对称关系?——2(n2−n)/22^{(n^2-n)/2}2(n2−n)/2

与上述推导同理，主对角线部分此时只有一种状态，1
问题转化为1×有(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个元素集合的子集个数
即：1×2(n2−n)/2=2(n2−n)/21×2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2-n)/2}1×2(n2−n)/2=2(n2−n)/2

n元素集合上有多少个既不自反又不反自反但对称关系?——(2n−2)∗2(n2−n)/2(2^n-2)*2^{(n^2-n)/2}(2n−2)∗2(n2−n)/2

主对角线部分此时的状态数为2n−22^n-22n−2
问题转化为(2n−2)(2^n-2)(2n−2)×有(n2−n)2\tfrac{(n^2-n)}{2}2(n2−n)个元素集合的子集个数
或者说用对称关系的总个数 - （自反对称总数 + 反自反对称总数）

即：(2n−2)∗2(n2−n)/2=2(n2+n)/2−2∗2(n2−n)/2(2^n-2)*2^{(n^2-n)/2}=2^{(n^2+n)/2}-2*2^{(n^2-n)/2}(2n−2)∗2(n2−n)/2=2(n2+n)/2−2∗2(n2−n)/2

n元素集合上有多少个既不自反又不反自反关系?——2n2−2∗2n2−n2^{n^2}-2*2^{n^2-n}2n2−2∗2n2−n

由于自反关系和反自反关系是互斥的
我们只要用n元素集合上总的关系数-（自反关系数+反自反关系数）即可
总数为2n2−2∗2n2−n2^{n^2}-2*2^{n^2-n}2n2−2∗2n2−n

写在结尾

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