用矩阵表示图形旋转缩放变换

2024-05-17 21:57:15

二维图形

1.缩放

假设x和y都缩小到0.5倍

那新的x’ = 0.5x 新的y’ = 0.5y 我们现在通用化一下，假设x方向缩放为Sx，y方向缩放为Sy，并且用矩阵的方法可表示如下

-1 <= Sx <= 1, -1 <= Sy <= 1

2.斜切

我们先假设y的高度是1，顶部x方向移动距离是a。
y始终是不变化的
对于顶部的线，x’ = x + a;
对于底部的线， x’ = x;
对于任意位置，x’= x + a* y ;
转为矩阵

假设y的高度是y0，顶部x方向移动距离是a0。那a = a0 / y0;

这钟斜切是保证一个方向的坐标不变的，还有一种如下

相当于把矩形推到
对于顶部线x’ = x + sinα * y; y’ = cosα * y;
显然对于任意一点，也是如上公式
那转换为矩阵表示为

3.旋转

假设有一个矩阵可以描述旋转变换

然后根据特殊点来求解A、B、C、D;

先根据特殊点（1, 0）得到如下关系

求解后可得

同理再根据特殊点（0，1）求解B、D的值

最后可得

至此我们知道旋转和缩放和斜切都可以用如下形式表示

4.平移

我们假设x方向移动了tx; y方向移动了ty, 则

那就不能表示为

只能表示成

5.小结

那旋转缩放斜切平移通用表达式就只能表示为

但我们不想对平移特殊处理，只想用一个矩阵表示，后面不用加

此处引入齐次坐标
定义二维点和向量如下

那平移就可以表示为

通用表表达式则变为

至此，所有变换都能用一个矩阵来表示了

6.组合

那如何用变换矩阵表示下面这个图呢

只要先旋转再平移即可

那可不可以先平移再旋转呢？
不行，因为旋转是以原点作为中心点的
先平移再旋转会得到如下结果

不在原点的旋转可以先移回原点，旋转后再移回去

三维图形

此处也引入齐次坐标
定义三维的点和向量为

通用变换为

【注】：文章资料来源于【现代计算机图形学入门-闫令琪】

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