一类用 LCT 维护信息的题目

1

给定一棵n个点的树，点有正点权，支持修改点权，查询带权直径。

普通的 DP 需要维护最长链和次长链，带修改的话不容易动态维护。因此我们采用另一种方法：找两次最远点。

LCT 维护的是：对于一棵 splay 的某个点，维护它 LCT 子树的答案，也就是对应的这条链的链顶的子树内，从这条链的端点出发的最长链（可能有点绕，很多 LCT 维护信息都是这么维护的）。为了维护这个信息，我们还需要维护每个虚儿子出发向（原树）子树的最长链，为了支持 access 用一个堆维护这些最长链，用堆顶就可以 push_up。

/*
lmax:从链顶出发的最长链
rmax:从链尾出发的最长链
sum:splay子树点权和
s:虚儿子最长链的堆
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100010;
struct node{ll w;int x;
}lmax[N],rmax[N],Max[N];
struct edge{int to,next;
}ed[N<<1];multiset <node> s[N];
int fa[N],son[N][2],a[N],sz,head[N];
ll sum[N];inline void add_edge(int from,int to)
{ed[++sz].to=to;ed[sz].next=head[from];head[from]=sz;
}node operator + (node a,ll x)
{a.w+=x;return a;
}
bool operator < (node a,node b)
{if(a.w==b.w) return a.x<b.x;return a.w<b.w;
}
inline int read()
{char c=getchar();int x=0,flag=1;while(!isdigit(c)){if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();return x*flag;
}
void dfs(int u,int ff)
{for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){int v=ed[i].to;if(v==ff) continue;fa[v]=u;dfs(v,u);s[u].insert(lmax[v]);}lmax[u]=rmax[u]=*s[u].rbegin()+a[u];Max[u]=*s[u].rbegin();
}
bool nroot(int x)
{return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
}
void push_up(int x)
{int ls=son[x][0],rs=son[x][1];lmax[x]=max(lmax[ls],max(lmax[rs],Max[x])+sum[ls]+a[x]);rmax[x]=max(rmax[rs],max(rmax[ls],Max[x])+sum[rs]+a[x]);sum[x]=sum[ls]+sum[rs]+a[x];
}
void rotate(int x)
{int y=fa[x],z=fa[y],kind=x==son[y][0];int tmp=nroot(y);son[y][!kind]=son[x][kind];fa[son[x][kind]]=y;son[x][kind]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;if(tmp) {if(y==son[z][0]) son[z][0]=x;else son[z][1]=x;}push_up(y);
}
void splay(int x)
{while(nroot(x)){int y=fa[x],z=fa[y];if(nroot(y)) {if((x==son[y][0])^(y==son[z][0])) rotate(x);else rotate(y);}rotate(x);}push_up(x);
}
void access(int x)
{for(int y=0;x;x=fa[y=x]){splay(x);if(son[x][1]) s[x].insert(lmax[son[x][1]]);son[x][1]=y;if(y) s[x].erase(s[x].find(lmax[y]));Max[x]=*s[x].rbegin();push_up(x);}
}
int main()
{int n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),s[i].insert((node){0,i});for(int i=1;i<n;i++) {int u=read(),v=read();add_edge(u,v),add_edge(v,u);}dfs(1,0);while(m--){int x=read(),y=read();access(x),splay(x);a[x]=y;push_up(x);x=lmax[x].x;access(x);splay(x);cout<<rmax[x].w<<'\n';}return 0;
}
/*by DT_Kang*/

2

我们的 CPU 遭到攻击
维护一个森林，边有边权，支持 Link，Cut，反转一个点的颜色（黑白），查询某个联通块的所有黑点到某个点的距离之和。

这个题同样的，我们 splay 上的点维护 LCT 子树到链头/尾的答案（因为要支持 makeroot）。为了维护答案，还有维护黑点数量，边权之和。对于每个点，还要维护虚子树的黑点之和，以及虚子树答案。

/*
size:LCT子树黑点数
sizei:虚子树黑点数
ansi:虚儿子的答案
ansl:到链顶答案
sum:splay子树边权和
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
unordered_map <ll,int> mp;
int son[400010][2],size[400010],sizei[400010],col[400010],val[400010],tot,fa[400010],tmp[400010],rev[400010];
ll ansl[400010],ansr[400010],ansi[400010],sum[400010];
inline int read()
{char c=getchar();int x=0,flag=1;while(!isdigit(c)){if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();return x*flag;
}
bool notroot(int x)
{return (son[fa[x]][0]==x)||(son[fa[x]][1]==x);
}
void reverse(int x)
{rev[x]^=1;swap(son[x][0],son[x][1]);swap(ansl[x],ansr[x]);
}
void push_up(int x)
{int ls=son[x][0],rs=son[x][1];sum[x]=sum[ls]+sum[rs]+val[x];size[x]=size[ls]+size[rs]+col[x]+sizei[x];ansl[x]=ansl[ls]+ansl[rs]+(sum[ls]+val[x])*(size[rs]+sizei[x]+col[x])+ansi[x];ansr[x]=ansr[rs]+ansr[ls]+(sum[rs]+val[x])*(size[ls]+sizei[x]+col[x])+ansi[x];
}
void push_down(int x)
{if(rev[x]){if(son[x][0]) reverse(son[x][0]);if(son[x][1]) reverse(son[x][1]);rev[x]=0;}
}
void rotate(int x)
{int y=fa[x],z=fa[y],kind= x==son[y][0];int tmp=notroot(y);son[y][!kind]=son[x][kind];fa[son[x][kind]]=y;fa[y]=x;son[x][kind]=y;fa[x]=z;if(tmp){if(y==son[z][0]) son[z][0]=x;else son[z][1]=x;}push_up(y);push_up(x);
}
void splay(int x)
{int y=x,p=0;while(notroot(y)) tmp[++p]=y,y=fa[y];tmp[++p]=y;while(p--) push_down(tmp[p+1]);while(notroot(x)){int y=fa[x],z=fa[y];if(notroot(y)){if((x==son[y][0])^(y==son[z][0])) rotate(x);else rotate(y);}rotate(x);}
}
void access(int x)
{for(int y=0;x;x=fa[y=x]){splay(x);int tmp=son[x][1];sizei[x]+=size[tmp];ansi[x]+=ansl[tmp];son[x][1]=y;sizei[x]-=size[y];ansi[x]-=ansl[y];push_up(x);}
}
void makeroot(int x)
{access(x),splay(x);reverse(x);
}
void Link(int x,int y)
{makeroot(x),makeroot(y);fa[x]=y,sizei[y]+=size[x],ansi[y]+=ansl[x];push_up(y);
}
void Cut(int x,int y)
{makeroot(x),access(y),splay(y);son[y][0]=fa[x]=0;push_up(y);
}
void add_edge(int x,int y,int w)
{tot++,val[tot]=w;Link(x,tot),Link(tot,y);mp[1000000ll*x+y]=mp[1000000ll*y+x]=tot;
}
int main()
{int n=read(),m=read(),k=read();tot=n;for(int i=1;i<=m;i++){int u=read(),v=read(),w=read();add_edge(u,v,w);}while(k--){char s[5];scanf("%s",s);char c=s[0];int x,y,w,tmp;if(c=='L') x=read(),y=read(),w=read(),add_edge(x,y,w);else if(c=='C') x=read(),y=read(),tmp=mp[1000000ll*x+y],Cut(x,tmp),Cut(tmp,y);else if(c=='F') x=read(),access(x),splay(x),col[x]^=1,push_up(x);else //if(c=='Q') x=read(),makeroot(x),splay(x),cout<<ansl[x]<<'\n';}return 0;
}
/*by DT_Kang*/

3

Qtree7
维护三种操作：修改点的颜色（黑白），修改点的权值，查询 x 所在同色联通块的最大权值。

维护同色联通块的小技巧：我们把点的颜色放在它到父亲这条边上，同色边放在一棵 LCT 里。容易发现一个联通块只有根节点颜色不同。注意特判整棵树的根。

这个 LCT 是不需要换根的，注意 Link，Cut 的写法。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define fir first
#define sec second
#define ld long double
using namespace std;
const int N=200020,inf=1e9;
typedef pair <int,int> P;
struct edge {int to,next;
}ed[N<<2];
int head[N],col[N],w[N],sz;
void add_edge(int from,int to)
{ed[++sz].to=to;ed[sz].next=head[from];head[from]=sz;
}
int read()
{int x=0;char c=getchar(),flag='+';while(!isdigit(c)) flag=c,c=getchar();while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();return flag=='-'?-x:x;
}
struct Heap
{priority_queue <int> q1,q2;void push(int x) {q1.push(x);}void erase(int x) {q2.push(x);}int top() {while(q2.size()&&q1.top()==q2.top()) q2.pop(),q1.pop();return q1.top();}
};
struct LCT
{int son[N][2],fa[N],mx[N];Heap si[N];bool nroot(int x) {return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;}void up(int x) {mx[x]=max(max(mx[son[x][0]],mx[son[x][1]]),max(w[x],si[x].top()));}void rotate(int x){int y=fa[x],z=fa[y],kind=x==son[y][0],tmp=nroot(y);son[y][!kind]=son[x][kind];fa[son[x][kind]]=y;son[x][kind]=y;fa[y]=x,fa[x]=z;if(tmp){if(y==son[z][0]) son[z][0]=x;else son[z][1]=x;}up(y),up(x);}void splay(int x){while(nroot(x)){int y=fa[x],z=fa[y];if(nroot(y)) {if(x==son[y][0]^y==son[z][0]) rotate(x);else rotate(y);}rotate(x);}}void access(int x){for(int y=0;x;x=fa[y=x]){splay(x);if(son[x][1]) si[x].push(mx[son[x][1]]);if(y) si[x].erase(mx[y]);son[x][1]=y,up(x);}}void Cut(int x,int y){if(!y) return;access(x),splay(x);son[x][0]=fa[son[x][0]]=0;up(x);}void Link(int x,int y) {if(!y) return;access(x),splay(x);access(y),splay(y);fa[x]=y;si[y].push(mx[x]);up(y);}int find(int x){access(x),splay(x);int now=x;while(son[now][0]) now=son[now][0];return now;}
};
LCT T[2];
int fa[N];
void dfs(int u,int ff)
{for(int i=head[u];i;i=ed[i].next){int v=ed[i].to;if(v==ff) continue;T[col[v]].Link(v,u);fa[v]=u;dfs(v,u);}
}
int main()
{int n=read();for(int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read();add_edge(u,v),add_edge(v,u);}T[0].mx[0]=T[1].mx[0]=-inf;for(int i=1;i<=n;i++) col[i]=read(),T[0].si[i].push(-inf),T[1].si[i].push(-inf),T[0].up(i),T[1].up(i);for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();dfs(1,0);int m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int opt=read(),x=read(),c=col[x];if(opt==0) {int tmp=T[c].find(x);T[c].access(x);T[c].splay(tmp);if(c==col[tmp]) cout<<T[c].mx[tmp]<<'\n';else cout<<T[c].mx[T[c].son[tmp][1]]<<'\n';}else if(opt==1){T[c].Cut(x,fa[x]);col[x]^=1,c^=1;T[c].Link(x,fa[x]);}else {int val=read();T[c].access(x),T[c].splay(x);w[x]=val;T[c].up(x);}}return 0;
}
/*by DT_Kang*/

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