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MATLAB 与数学分析自控1303 宋怡然 2013010646 摘要：数值计算的定义MATLAB 中的数值计算MATLAB 数值计算的使用数值计算指有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与 过程，以及由相关理论构成的学科。数值计算主要研究如何利用计 算机更好的解决各种数学问题，包括连续系统离散化和离散形方程 的求解，并考虑误差、收敛性和稳定性等问题。从数学类型分，数 值运算的研究领域包括数值逼近、数值微分和数值积分、数值代数、 最优化方法、常微分方程数值解法、积分方程数值解法、偏微分方 程数值解法、计算几何、计算概率统计等。随着计算机的广泛应用 和发展，许多计算领域的问题，如计算物理、计算力学、计算化学、 计算经济学等都可归结为数值计算问题。数值计算有以下重要特征：1. 数值计算的结果是离散的，并且一定有误差，这是数值计算 方法区别与解析法的主要特征。2. 注重计算的稳定性。控制误差的增长势头，保证计算过程稳定是数值计算方法的核心任务之一。3. 注重快捷的计算速度和高计算精度是数值计算的重要特征。4. 注重构造性证明。5.数值计算主要是运用 MATLAB 这个数学软件来解决实际的问题6.数值计算主要是运用有限逼近的的思想来进行误差运算 其中数值积分求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限 个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分 时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因 此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。 另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续 函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原 因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分 学作出杰出贡献的数学大师，如 I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值 积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。 MATLAB 中包含众多的函数库，可以对数据进行分析处理以及 数值计算。MATLAB 的数值计算主要包括以下几种：1 特殊矩阵 2 矩阵分析 3 矩阵分解与线性方程组求解 4 数据处理与多项式计算 5 傅立叶分析 6 数值微积分 7 常微分方程的数值求解 8 非线性方程 的数值求解 9 稀疏矩阵一、特殊矩阵 包括对角阵与三角阵。 魔方矩阵函数 magic(n)，其功能是生成 一个 n 阶魔方阵。 范得蒙矩阵函数 vander(V)生成以向量 V 为基础 向量的范得蒙矩阵。希尔伯特矩阵生成希尔伯特矩阵的函数是 hilb(n)。 MATLAB 中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数 invhilb(n)，其 功能是求 n 阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。托普利兹矩阵生成托普利 兹矩阵的函数是 toeplitz(x,y)，它生成一个以 x 为第 1 列，y 为第 1 行的托普利兹矩阵。这里 x, y 均为向量，二者不必等长。友矩阵生 成友矩阵的函数是：compan(P)，生成多项式 P 的友矩阵。P 是一个 多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。帕斯卡矩 阵函数 pascal(n)生成一个 n 阶的帕斯卡矩阵。 二、矩阵分析 矩阵结构变换。1. 矩阵的转置转置运算符是单撇号( )。2. 矩阵 的旋转矩阵的旋转利用函数 rot90(A,k)，功能是将矩阵 A 旋转 90º 的 k 倍，当 k 为 1 时可省略。3. 矩阵的左右翻转对矩阵 A 实施左右 翻转的函数是 fliplr(A)。4. 矩阵的上下翻转对矩阵 A 实施上下翻转的 函数是 flipud(A)。 矩阵的伪逆。MATLAB 中，求一个矩阵伪逆的函数是 pinv(A)。方阵的行列式。求方阵 A 所对应的行列式的值的函数是 det(A)。 矩阵的迹。MATLAB 中，求矩阵的迹的函数是 trace(A)。 矩阵的秩。MATLAB 中，求矩阵秩的函数是 rank(A)。 矩阵的特征值与特征向量。MATLAB 中，计算矩阵 A 的特征值 和特征向量的函数是 eig(A)，常用的调用格式有 3 种： (1)E=eig(A) 求矩阵 A 的全部特征值，构成向量 E。 (2)[V,D]=eig(A) 求矩阵 A 的全部特征值，构成对角阵 D，并求 A 的特征向量构成 V 的列向量。 (3)[V,D]=eig(A, nobalance ) 与第 2 种格式类似，但第 2 种格式 中先对 A 作相似变换后求矩阵 A 的特征值和特征向量，而格式 3 直 接求矩阵 A 的特征值和特征向量。 三、矩阵分解与线性方程组求解 实对称矩阵的 QDQ 分解 矩阵的 LU 分解。MATLAB 中，完成 LU 分解的函数是：(1)[L,U] =lu(A) 将方阵 A 分解为交换下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使 A=LU。(2)[L,U,P]=lu(A) 将方阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使 PA=LU。 矩阵的 QR 分解。对矩阵 A 进行 QR 分解的函数是[Q,R]=qr(A)， 根据方阵 A，求一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R，使 A=Q*R。 求线性方程组的解。在 MATLAB 命令窗口，输入命令： A=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,- 2,2];b=[4,6,12,6] ;[x,y]=line_solution(A,b) %调用自定义函数 四、数据处理与多项式计算 数据统计与分析 1. 求矩阵最大和最小元素(1)求向量的最大最小元素 ①y=max(X) 返回向量 X 的最大元素存入 y。 ②[y,I]=max(X) 返回向量 X 的最大元素存入 y，最大元素的序号 存入 I。 (2)求矩阵的最大和最小元素 ①max(A) 返回一个行向量，向量的第 i 个元素是 A 矩阵的第 i 列上的最大元素。 ②[Y,U]=max(A) 返回两个行向量，Y 向量记录 A 的每列的最大 元素，U 向量记录每列最大元素的行号。 ③max(A,[],dim) dim 取 1 或 2。dim 取 1 时，该函数和 max(A) 完全相同。dim 取 2 时，该函数返回一个列向量，其第 i 个元素是 A 矩阵的第 i 行上的最大元素。(3)两个向量或矩阵对应元素的比较 ①U=max(A,B) A,B 是两个同型的向量或矩阵。结果 U 是与 A,B 同型的向量或矩阵，U 的每个元素等于 A,B 对应元素的较大者。 ②U=max(A,n) n 是一个标量。结果 U 是与 A 同型的向量或矩 阵，U 的每个元素等于 A 对应元素和 n 中的较大者。 min 函数的用法和 max 完全相同。 2. 求矩阵的平均值和中值 求矩阵和向量元素的平均值的函数是 mean，求中值的函数是 median。它们的调用方法和 max 函数完全相同。 3. 矩阵元素求和与求积 矩阵和向量求和与求积的基本函数是 sum 和 prod，其使用方法 和 max 类似。 4. 矩阵元素累加和与累乘积 MATLAB 中，使用 cumsum 和 cumprod 函数能方便地求得向量 和矩阵元素的累加和与累乘