泰勒展开与找第一项系数不为1的解题策略

@(微积分)

思考一道习题来看这个方法的运用。

（13-2）x→0x\rightarrow 0时，1−cosxcos2xcos3x1-cosxcos2xcos3x与axnax^n是等价无穷小。求a,n.

分析：可以采用的策略很多，但是最快的是泰勒展开式，这里主要分析这个策略为什么可行。

其实一句话就能说明白：低阶吸收高阶。比如xx和x2x^2同时出现，x+x2x+x^2,那么在趋向于0时，x2x^2的影响在x看来微乎其微，所以说是被吸收了。在x趋向于无穷大是，x是被x2x^2吸收这我们很熟悉的了。

而泰勒展开式呢，幂指数是越来越大的。也就是当x趋向于0时，前面是老大，吸收后面的大指数，这可为解题带来了巨大方便，我们也不想展开太多项不是吗？展开几项就能看明白问题，就不用再往后做无用功了。

说明白这些，再回到题目。

cosx=1−12x2−14x4+o(x4)cos2x=1−12(2x)2−142x4+o(x4)cos3x=1−12(3x)2−14(3x)4+o(x4)

cosx = 1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4+o(x^4) \\ cos2x = 1-\frac{1}{2}(2x)^2-\frac{1}{4}{2x}^4+o(x^4)\\ cos3x = 1-\frac{1}{2}(3x)^2-\frac{1}{4}(3x)^4+o(x^4) \\

其实不用展开到x4x^4，因为x2x^2已经满足系数不为0。

即：n = 2马上可以确定。把x2x^2系数加起来：−12−42−92=−7=a-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}-\frac{9}{2} = -7 = a

于是得到：a=−7,n=2.a = -7,n=2.

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