线性代数【二】：矩阵的概念与计算

本节为线性代数复习笔记的第二部分，矩阵的概念与计算，主要包括：几个特殊特殊矩阵，矩阵乘法，伴随矩阵，逆矩阵的运算性质以及求矩阵逆的五个方法。

1. 几个特殊矩阵

单位矩阵：主对角元素均为1，其余元素全为0的n阶方阵，称为n阶单位矩阵；
数量矩阵：数k和单位矩阵的乘积；
对角矩阵：非主对角元素均为0的矩阵；
对称矩阵：满足条件AT=AA^T=AAT=A的矩阵；
反对称矩阵：满足条件AT=A−1A^T=A^{-1}AT=A−1的矩阵；
正交矩阵：满足条件AT=A−1A^T=A^{-1}AT=A−1或AAT=ATA=EAA^T=A^TA=EAAT=ATA=E的矩阵。

2. 矩阵乘法

设A是m×sm \times sm×s矩阵，B是s×ns \times ns×n矩阵，则A，B可乘，乘积AB是m×nm \times nm×n矩阵。记C=AB=(cij)m×nC=AB=(c_{ij})_{m\times n}C=AB=(cij)m×n，C的i行j列元素是A的第i行的s个元素和B的第j列的s个元素两两乘积之和。
eg.α=[α1,α2,α3]T，β=[b1,b2,b3]Teg.\alpha=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]^T，\beta=[b_1,b_2,b_3]^Teg.α=[α1,α2,α3]T，β=[b1,b2,b3]T，A=αβT，求An.A=\alpha\beta^T，求A^n.A=αβT，求An.
解：An=(αβT)(αβT)...(αβT)解：A^n=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)...(\alpha\beta^T)解：An=(αβT)(αβT)...(αβT)=α(βTα)n−1βT=\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T=α(βTα)n−1βT
=∣α1α2α3∣([b1,b2,b3]∣α1α2α3∣)n−1[b1,b2,b3]=\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\left([b_1,b_2,b_3]\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\right)^{n-1}[b_1,b_2,b_3]=∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎝⎛[b1,b2,b3]∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎠⎞n−1[b1,b2,b3]
=[Σi=13αibi]n−1A=[\Sigma_{i=1}^3\alpha_ib_i]^{n-1}A=[Σi=13αibi]n−1A.

3. 矩阵的逆

3.1 概念

A，B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，记为A−1A^{-1}A−1.
|A|不为0是矩阵A可逆的充要条件。

3.2 伴随矩阵

3.2.1 展开定理的推广对于余子式有这样一个推理：k1Ai1+k2Ai2+...+knAin=∣∗k1k2...kn∗∣k_1A_{i1}+k_2A_{i2}+...+k_nA_{in}=\left|\begin{matrix}&*&&\\k_1&k_2&...&k_n\\&*&& \end{matrix}\right|k1Ai1+k2Ai2+...+knAin=∣∣∣∣∣∣k1∗k2∗...kn∣∣∣∣∣∣

3.2.2 伴随矩阵的定义将行列式|A|的n2n^2n2个元素的代数余子式【代数余子式本质上是一个“缺斤少两”的原行列式，是一个数】按如下形式排列成的矩阵，称为A的伴随矩阵，记为A∗A^*A∗，有AA∗=∣A∣EAA^*=|A|EAA∗=∣A∣E.
AA∗=[a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann][A11A12...A1nA21A22...A2n............An1An2...Ann]AA^*=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&...&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&...&A_{2n}\\...&...&...&...\\A_{n1}&A_{n2}&...&A_{nn}\end{matrix}\right]AA∗=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡A11A21...An1A12A22...An2............A1nA2n...Ann⎦⎥⎥⎤
=[∣A∣0...00∣A∣...0............00...∣A∣]=∣A∣E=\left[\begin{matrix}|A|&0&...&0\\0&|A|&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&|A|\end{matrix}\right]=|A|E=⎣⎢⎢⎡∣A∣0...00∣A∣...0............00...∣A∣⎦⎥⎥⎤=∣A∣E.

[注]：[a11a12...a1n][A21A22...A2n][注]：\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{21}\\A_{22}\\...\\A_{2n}\end{matrix}\right][注]：[a11a12...a1n]⎣⎢⎢⎡A21A22...A2n⎦⎥⎥⎤
=a11A21+a12A22+...+a1nA2n=a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}=a11A21+a12A22+...+a1nA2n
=[a11a12...a1na11a12...a1n............an1an2...ann]（有两行相同，行列式为0）=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix}\right]（有两行相同，行列式为0）=⎣⎢⎢⎡a11a11...an1a12a12...an2............a1na1n...ann⎦⎥⎥⎤（有两行相同，行列式为0）

于是有A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac1{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗
3.2.3 逆矩阵运算的性质

(kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}(kA)−1=k1A−1
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}|=|A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1

3.2.4 求逆矩阵的方法

根据伴随矩阵，若|A|不为0，则A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac1{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗
初等变换：初等行变换[A∣E]⟹[E∣A−1][A|E]\Longrightarrow[E|A^{-1}][A∣E]⟹[E∣A−1]或者初等列变换[AE]⟹[EA−1]\left[\begin{matrix}A\\E\end{matrix}\right]\Longrightarrow\left[\begin{matrix}E\\A^{-1}\end{matrix}\right][AE]⟹[EA−1]
A−1=(BC)−1=C−1B−1A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A−1=(BC)−1=C−1B−1
[AOOB]−1=[A−1OOB−1]\left[\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{matrix}\right][AOOB]−1=[A−1OOB−1]，[OABO]−1=[OA−1B−1O]\left[\begin{matrix}O&A\\B&O\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}O&A^{-1}\\B^{-1}&O\end{matrix}\right][OBAO]−1=[OB−1A−1O]
特殊地，对于二阶矩阵A=[abcd]A=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]A=[acbd]，A−1=1ad−bc[d−bca]−1（主对调，副变号）A^{-1}=\frac1{ad-bc}\left[\begin{matrix}d&-b\\c&a\end{matrix}\right]^{-1}（主对调，副变号）A−1=ad−bc1[dc−ba]−1（主对调，副变号）

eg.A=[02−1112−1−1−1]的逆矩阵。eg.A=\left[\begin{matrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{matrix}\right]的逆矩阵。eg.A=⎣⎡01−121−1−12−1⎦⎤的逆矩阵。
解：[A∣E]=[02−1100112010−1−1−1001]→[100−12−32−52010121612001011]解：[A|E]=\left[\begin{matrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&0&0&1\end{matrix}\right]\rightarrow\left[\begin{matrix}1&0&0&-\frac12&-\frac32&-\frac52\\0&1&0&\frac12&\frac16&\frac12\\0&0&1&0&1&1\end{matrix}\right]解：[A∣E]=⎣⎡01−121−1−12−1100010001⎦⎤→⎣⎡100010001−21210−23611−25211⎦⎤
（具体变换为1行2行互换，3行加到1行，3行的-2倍加到1行，3行加到2行，2行取半，2行的-1倍加到1行）

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