堆——神奇的优先队列(上)
堆——神奇的优先队列(上)
--转自啊哈磊【坐在马桶上看算法】算法11:堆——神奇的优先队列(上)
堆是什么?是一种特殊的完全二叉树,就像下面这棵树一样。
for(i=1;i<=14;i++) {if(a[ i]<min) min=a[ i]; }
现在我们需要删除其中最小的数,并增加一个新数23,再次求这14个数中最小的一个数。请问该怎么办呢?只能重新扫描所有的数,才能找到新的最小的数,这个时间复杂度也是O(N)。假如现在有14次这样的操作(删除最小的数后并添加一个新数)。那么整个时间复杂度就是O(142)即O(N2)。那有没有更好的方法呢?堆这个特殊的结构恰好能够很好地解决这个问题。
首先我们先把这个14个数按照最小堆的要求(就是所有父结点都比子结点要小)放入一棵完全二叉树,就像下面这棵树一样。
很显然最小的数就在堆顶,假设存储这个堆的数组叫做h的话,最小数就是h[ 1]。接下来,我们将堆顶的数删除,并将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性,我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢?
向下调整!我们需要将这个数与它的两个儿子2和5比较,并选择较小一个与它交换,交换之后如下。
我们发现此时还是不符合最小堆的特性,因此还需要继续向下调整。于是继续将23与它的两个儿子12和7比较,并选择较小一个交换,交换之后如下。
问:为什么是选择较小一个交换呢?
答:若没有这个限定,假设我选择较大一个进行交换,即23是与12交换而不是与7交换,则交换后,深度为2的左结点为12,其右子结点为7,不满足堆的特性,所以每次都必须选择较小的一个进行交换。
到此,还是不符合最小堆的特性,仍需要继续向下调整直到符合最小堆的特性为止。
我们发现现在已经符合最小堆的特性了。综上所述,当新增加一个数被放置到堆顶时,如果此时不符合最小堆的特性,则将需要将这个数向下调整,直到找到合适的位置为止,使其重新符合最小堆的特性。
向下调整的代码如下。
void siftdown(int i) //传入一个需要向下调整的结点编号i,这里传入1,即从堆的顶点开始向下调整 {int t,flag=0;//flag用来标记是否需要继续向下调整//当i结点有儿子的时候(其实是至少有左儿子的情况下)并且有需要继续调整的时候循环执行while( i*2<=n && flag==0 ){ //首先判断他和他左儿子的关系,并用t记录值较小的结点编号if( h[ i] > h[ i*2] )t=i*2;elset=i;//如果他有右儿子的情况下,再对右儿子进行讨论if(i*2+1 <= n){//如果右儿子的值更小,更新较小的结点编号 if(h[ t] > h[ i*2+1])t=i*2+1;}//如果发现最小的结点编号不是自己,说明子结点中有比父结点更小的 if(t!=i){swap(t,i);//交换它们,注意swap函数需要自己来写i=t;//更新i为刚才与它交换的儿子结点的编号,便于接下来继续向下调整 }elseflag=1;//否则说明当前的父结点已经比两个子结点都要小了,不需要在进行调整了 } }
先将3与它的父结点25比较,发现比父结点小,为了维护最小堆的特性,需要与父结点的值进行交换。交换之后发现还是要比它此时的父结点5小,因此需要再次与父结点交换。至此又重新满足了最小堆的特性。向上调整完毕后如下。
向上调整的代码如下。
void siftup(int i) //传入一个需要向上调整的结点编号i {int flag=0; //用来标记是否需要继续向上调整if(i==1) return; //如果是堆顶,就返回,不需要调整了 //不在堆顶 并且 当前结点i的值比父结点小的时候继续向上调整while(i!=1 && flag==0){//判断是否比父结点的小if(h[ i]<h[ i/2])swap(i,i/2);//交换他和他爸爸的位置elseflag=1;//表示已经不需要调整了,当前结点的值比父结点的值要大i=i/2; //这句话很重要,更新编号i为它父结点的编号,从而便于下一次继续向上调整 } }
说了半天,我们忽略一个很重要的问题!就是如何建立这个堆。我们周一接着说。
转载于:https://www.cnblogs.com/codingmengmeng/p/5646245.html
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