圆锥曲线性质

预备知识

矩阵变换包括旋转和平移。

列向量 v ⃗ = [ x , y , 1 ] T , \vec{v}=[x,y,1]^T, v =[x,y,1]T, 旋转矩阵 R ′ = [ cos ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) , 0 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) , 0 0 0 1 ] R'=\begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha), &0\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha), &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R′=⎣⎡cos(α)sin(α)0−sin(α),cos(α),0001⎦⎤, 平移向量 t ⃗ = [ h , k , 0 ] T \vec t=[h,k,0]^T t =[h,k,0]T

旋转和平移合在一起就是 R = R ′ + t ⃗ = [ cos ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) , h sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) , k 0 0 1 ] R=R'+\vec t=\begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha), &h\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha), &k\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R=R′+t =⎣⎡cos(α)sin(α)0−sin(α),cos(α),0hk1⎦⎤

新坐标系下，坐标转换为 v ⃗ ′ = [ x ′ , y ′ , 1 ] T = R ∗ v ⃗ \vec v' = [x',y',1]^T=R*\vec v v ′=[x′,y′,1]T=R∗v
通过计算得到：

v ⃗ ′ T = [ x ′ , y ′ , 1 ] = R ⋅ v ⃗ = [ x cos ⁡ ( α ) − y sin ⁡ ( α ) + h , x sin ⁡ ( α ) + y cos ⁡ ( α ) + k , 1 ] \vec v'^T = [x',y', 1] = R\cdot\vec v=\begin{bmatrix} x\cos(\alpha)-y\sin(\alpha)+h,x\sin(\alpha)+y\cos(\alpha)+k, 1 \end{bmatrix} v ′T=[x′,y′,1]=R⋅v =[xcos(α)−ysin(α)+h,xsin(α)+ycos(α)+k,1]

具体定义和运算如下：

>>> from sympy import *
>>> x,y,z = symbols('x y z')
>>> alpha = Symbols('alpha')
>>> h,k = symbols('h k', real=true)
>>> A,B,C,D,E,F = symbols('A:F')>>> v = Matrix([x,y,1])  #列向量 v, 采用齐次坐标系
>>> R = Matrix([[cos(alpha), -sin(alpha),h],
[sin(alpha),  cos(alpha),k],
[0,0,1]]) #旋转矩阵+平移向量
>>> v1 = R*v #坐标变换，Rotate+Translate
>>> v1
Matrix([
[h + x*cos(alpha) - y*sin(alpha)],
[k + x*sin(alpha) + y*cos(alpha)],
[                              1]])

圆锥曲线一般式表现形式

平面上的圆锥曲线是二元二次多项式表示，基本式为：

f ( x , y ) = A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 f(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0 f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

写成矩阵形式如下：

f ( x , y ) = [ x , y , 1 ] [ A B D B C E D E F ] [ x y 1 ] f(x,y) = [x,y,1]\begin{bmatrix} A & B & D\\ B & C & E\\ D & E & F \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix} f(x,y)=[x,y,1]⎣⎡ABDBCEDEF⎦⎤⎣⎡xy1⎦⎤

>>> M = Matrix([[A,B,D],[B,C,E],[D,E,F]]) #定义系数矩阵
>>> M
Matrix([
[A, B, D],
[B, C, E],
[D, E, F]])>>> f = Function('f')  #定义函数>>> G_1 = v.T * M * v  #矩阵乘积得到原圆锥曲线一般形式
>>> G_1
Matrix([[D*x + E*y + F + x*(A*x + B*y + D) + y*(B*x + C*y + E)]])
>>> f = G_1[0]
>>> f
D*x + E*y + F + x*(A*x + B*y + D) + y*(B*x + C*y + E)
>>> cancel(f)  #合并同类项
A*x**2 + 2*B*x*y + C*y**2 + 2*D*x + 2*E*y + F
>>> f = cancel(f)

变换后的圆锥曲线的表现形式

将变换后的坐标代入上面的圆锥曲线一般式中，经计算得到：

>>> G_2 = v1.T * M * v1
>>> G_2
Matrix([[D*(h + x*cos(alpha) - y*sin(alpha)) + E*(k + x*sin(alpha) + y*cos(alpha)) + F + (h + x*cos(alpha) - y*sin(alpha))*(A*(h + x*cos(alpha) - y*sin(alpha)) + B*(k + x*sin(alpha) + y*cos(alpha)) + D) + (k + x*sin(alpha) + y*cos(alpha))*(B*(h + x*cos(alpha) - y*sin(alpha)) + C*(k + x*sin(alpha) + y*cos(alpha)) + E)]])>>> g = Function('g')  #定义新的函数>>> g = cancel(G_2[0])  #结果为多项式，未经过化简合并同类项
>>> g
A*h**2 + 2*A*h*x*cos(alpha) - 2*A*h*y*sin(alpha) + A*x**2*cos(alpha)**2 - 2*A*x*y*sin(alpha)*cos(alpha) + A*y**2*sin(alpha)**2 + 2*B*h*k + 2*B*h*x*sin(alpha) + 2*B*h*y*cos(alpha) + 2*B*k*x*cos(alpha) - 2*B*k*y*sin(alpha) + 2*B*x**2*sin(alpha)*cos(alpha) - 2*B*x*y*sin(alpha)**2 + 2*B*x*y*cos(alpha)**2 - 2*B*y**2*sin(alpha)*cos(alpha) + C*k**2 + 2*C*k*x*sin(alpha) + 2*C*k*y*cos(alpha) + C*x**2*sin(alpha)**2 + 2*C*x*y*sin(alpha)*cos(alpha) + C*y**2*cos(alpha)**2 + 2*D*h + 2*D*x*cos(alpha) - 2*D*y*sin(alpha) + 2*E*k + 2*E*x*sin(alpha) + 2*E*y*cos(alpha) + F>>> g.atoms(Symbol)  #得到g中所有符号的列表
{alpha, x, C, A, k, B, y, F, h, D, E}>>> Pg = Poly(g,x,y)  #转化成含 x,y 的多项式
>>> Pg
Poly((A*cos(alpha)**2 + 2*B*sin(alpha)*cos(alpha) + C*sin(alpha)**2)*x**2 + (-2*A*sin(alpha)*cos(alpha) - 2*B*sin(alpha)**2 + 2*B*cos(alpha)**2 + 2*C*sin(alpha)*cos(alpha))*x*y + (2*A*h*cos(alpha) + 2*B*h*sin(alpha) + 2*B*k*cos(alpha) + 2*C*k*sin(alpha) + 2*D*cos(alpha) + 2*E*sin(alpha))*x + (A*sin(alpha)**2 - 2*B*sin(alpha)*cos(alpha) + C*cos(alpha)**2)*y**2 + (-2*A*h*sin(alpha) + 2*B*h*cos(alpha) - 2*B*k*sin(alpha) + 2*C*k*cos(alpha) - 2*D*sin(alpha) + 2*E*cos(alpha))*y + A*h**2 + 2*B*h*k + C*k**2 + 2*D*h + 2*E*k + F, x, y, domain='EX')>>> Coeff = Pg.coeffs()  #获取多项式的子项系数 分别对应 x**2, x*y, x, y**2, y, 1, 按照 字母x降序排列
[A*cos(alpha)**2 + 2*B*sin(alpha)*cos(alpha) + C*sin(alpha)**2, -2*A*sin(alpha)*cos(alpha) - 2*B*sin(alpha)**2 + 2*B*cos(alpha)**2 + 2*C*sin(alpha)*cos(alpha), 2*A*h*cos(alpha) + 2*B*h*sin(alpha) + 2*B*k*cos(alpha) + 2*C*k*sin(alpha) + 2*D*cos(alpha) + 2*E*sin(alpha), A*sin(alpha)**2 - 2*B*sin(alpha)*cos(alpha) + C*cos(alpha)**2, -2*A*h*sin(alpha) + 2*B*h*cos(alpha) - 2*B*k*sin(alpha) + 2*C*k*cos(alpha) - 2*D*sin(alpha) + 2*E*cos(alpha), A*h**2 + 2*B*h*k + C*k**2 + 2*D*h + 2*E*k + F]
>>> Pg.monoms()  #获得多项式的子项次数 (x,y)
[(2, 0), (1, 1), (1, 0), (0, 2), (0, 1), (0, 0)]
>>> Pg.degree()  #获得多项式的最高次数
2>>> print(latex(Pg))
\operatorname{Poly}{\left( \left(A \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 B \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} + C \sin^{2}{\left(\alpha \right)}\right) x^{2} + \left(- 2 A \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} - 2 B \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 B \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 C \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}\right) xy + \left(2 A h \cos{\left(\alpha \right)} + 2 B h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B k \cos{\left(\alpha \right)} + 2 C k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 D \cos{\left(\alpha \right)} + 2 E \sin{\left(\alpha \right)}\right) x + \left(A \sin^{2}{\left(\alpha \right)} - 2 B \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} + C \cos^{2}{\left(\alpha \right)}\right) y^{2} + \left(- 2 A h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B h \cos{\left(\alpha \right)} - 2 B k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 C k \cos{\left(\alpha \right)} - 2 D \sin{\left(\alpha \right)} + 2 E \cos{\left(\alpha \right)}\right) y + A h^{2} + 2 B h k + C k^{2} + 2 D h + 2 E k + F, x, y, domain=\mathtt{\text{EX}} \right)}

通过计算得到新的表达式为：

g ( x , y ) = ( A cos ⁡ 2 ( α ) + 2 B sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) + C sin ⁡ 2 ( α ) ) x 2 + ( − 2 A sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) − 2 B sin ⁡ 2 ( α ) + 2 B cos ⁡ 2 ( α ) + 2 C sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) ) x y + ( 2 A h cos ⁡ ( α ) + 2 B h sin ⁡ ( α ) + 2 B k cos ⁡ ( α ) + 2 C k sin ⁡ ( α ) + 2 D cos ⁡ ( α ) + 2 E sin ⁡ ( α ) ) x + ( A sin ⁡ 2 ( α ) − 2 B sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) + C cos ⁡ 2 ( α ) ) y 2 + ( − 2 A h sin ⁡ ( α ) + 2 B h cos ⁡ ( α ) − 2 B k sin ⁡ ( α ) + 2 C k cos ⁡ ( α ) − 2 D sin ⁡ ( α ) + 2 E cos ⁡ ( α ) ) y + A h 2 + 2 B h k + C k 2 + 2 D h + 2 E k + F g(x,y) = \left(A \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 B \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} + C \sin^{2}{\left(\alpha \right)}\right) x^{2} +\\\qquad \left(- 2 A \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} - 2 B \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 B \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + 2 C \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}\right) xy +\\\qquad \left(2 A h \cos{\left(\alpha \right)} + 2 B h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B k \cos{\left(\alpha \right)} + 2 C k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 D \cos{\left(\alpha \right)} + 2 E \sin{\left(\alpha \right)}\right) x +\\\qquad \left(A \sin^{2}{\left(\alpha \right)} - 2 B \sin{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)} + C \cos^{2}{\left(\alpha \right)}\right) y^{2} +\\\qquad \left(- 2 A h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B h \cos{\left(\alpha \right)} - 2 B k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 C k \cos{\left(\alpha \right)} - 2 D \sin{\left(\alpha \right)} + 2 E \cos{\left(\alpha \right)}\right) y +\\\qquad A h^{2} + 2 B h k + C k^{2} + 2 D h + 2 E k + F g(x,y)=(Acos2(α)+2Bsin(α)cos(α)+Csin2(α))x2+(−2Asin(α)cos(α)−2Bsin2(α)+2Bcos2(α)+2Csin(α)cos(α))xy+(2Ahcos(α)+2Bhsin(α)+2Bkcos(α)+2Cksin(α)+2Dcos(α)+2Esin(α))x+(Asin2(α)−2Bsin(α)cos(α)+Ccos2(α))y2+(−2Ahsin(α)+2Bhcos(α)−2Bksin(α)+2Ckcos(α)−2Dsin(α)+2Ecos(α))y+Ah2+2Bhk+Ck2+2Dh+2Ek+F

设 g ( x , y ) = A 1 x 2 + 2 B 1 x y + C 1 y 2 + 2 D 1 x + 2 E 1 y + F 1 g(x,y) = A_1 x^2+2B_1 xy+C_1 y^2+2D_1 x+2E_1 y+F_1 g(x,y)=A1x2+2B1xy+C1y2+2D1x+2E1y+F1

通过比较系数，发现：

化为字典形式比较方便提取 x 2 , y 2 , y , 1 x^2, y^2, y, 1 x2,y2,y,1的系数。
通过原始代数式，采用 expr.coeff(x*y) 得到 x y xy xy 的系数
不能通过原始代数式 expr.coeff(x) 来得到 x x x 的系数，结果中还有 y y y
要获取特定单项式的系数，请使用 p.coeff_monomial（x ** 2 * y）
获取特定多项式的系数，请使用 p.coeffs()
获取特定多项式的次数，请使用 p.monoms()
转化成多项式用 Poly(expr[,x,y])

通过软件计算得到：

A_1 = Coeff[0]     #coeff(x**2)
B_1 = Coeff[1]/2   #coeff(x*y)
D_1 = Coeff[2]/2   #coeff(x)
C_1 = Coeff[3]     #coeff(y**2)
E_1 = Coeff[4]/2   #y的系数
F_1 = Coeff[5]     #常数项1

LA_1 = latex(simplify(A_1))  #输出成LaTeX格式，输出前化简或合并一下
LB_1 = latex(simplify(B_1))
LC_1 = latex(simplify(C_1))
LD_1 = latex(simplify(D_1))
LE_1 = latex(simplify(E_1))
LF_1 = latex(simplify(F_1))

最终得到两个坐标系之间的转换公式：

A 1 = A cos ⁡ 2 ( α ) + B sin ⁡ ( 2 α ) + C sin ⁡ 2 ( α ) 2 B 1 = − A sin ⁡ ( 2 α ) + 2 B cos ⁡ ( 2 α ) + C sin ⁡ ( 2 α ) C 1 = A sin ⁡ 2 ( α ) − B sin ⁡ ( 2 α ) + C cos ⁡ 2 ( α ) 2 D 1 = 2 A h cos ⁡ ( α ) + 2 B h sin ⁡ ( α ) + 2 B k cos ⁡ ( α ) + 2 C k sin ⁡ ( α ) + 2 D cos ⁡ ( α ) + 2 E sin ⁡ ( α ) 2 E 1 = − 2 A h sin ⁡ ( α ) + 2 B h cos ⁡ ( α ) − 2 B k sin ⁡ ( α ) + 2 C k cos ⁡ ( α ) − 2 D sin ⁡ ( α ) + 2 E cos ⁡ ( α ) F 1 = A h 2 + 2 B h k + C k 2 + 2 D h + 2 E k + F \begin{array}{|lcl|} \hline A_1 &=& A \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + B \sin{\left(2 \alpha \right)} + C \sin^{2}{\left(\alpha \right)}\\ 2B_1 &=& - A \sin{\left(2 \alpha \right)} + 2 B \cos{\left(2 \alpha \right)} + C \sin{\left(2 \alpha \right)}\\ C_1 &=& A \sin^{2}{\left(\alpha \right)} - B \sin{\left(2 \alpha \right)} + C \cos^{2}{\left(\alpha \right)}\\ 2D_1 &=& 2 A h \cos{\left(\alpha \right)} + 2 B h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B k \cos{\left(\alpha \right)} + 2 C k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 D \cos{\left(\alpha \right)} + 2 E \sin{\left(\alpha \right)}\\ 2E_1 &=& - 2 A h \sin{\left(\alpha \right)} + 2 B h \cos{\left(\alpha \right)} - 2 B k \sin{\left(\alpha \right)} + 2 C k \cos{\left(\alpha \right)} - 2 D \sin{\left(\alpha \right)} + 2 E \cos{\left(\alpha \right)}\\ F_1 &=& A h^{2} + 2 B h k + C k^{2} + 2 D h + 2 E k + F\\ \hline \end{array} A12B1C12D12E1F1======Acos2(α)+Bsin(2α)+Csin2(α)−Asin(2α)+2Bcos(2α)+Csin(2α)Asin2(α)−Bsin(2α)+Ccos2(α)2Ahcos(α)+2Bhsin(α)+2Bkcos(α)+2Cksin(α)+2Dcos(α)+2Esin(α)−2Ahsin(α)+2Bhcos(α)−2Bksin(α)+2Ckcos(α)−2Dsin(α)+2Ecos(α)Ah2+2Bhk+Ck2+2Dh+2Ek+F

更为直观的矩阵运算

向量 v ⃗ = [ x , y , 1 ] T \vec v=[x,y,1]^T v =[x,y,1]T 经矩阵 R R R 变换后，得到 R × v ⃗ R\times \vec{v} R×v

f ( x , y ) = v ⃗ T ⋅ M ⋅ v ⃗ ⟼ g ( x , y ) = ( R ⋅ v ⃗ ) T ⋅ M ⋅ ( R ⋅ v ⃗ ) = v ⃗ T ⋅ R T M R ⋅ v ⃗ = v ⃗ T ⋅ M 1 ⋅ v ⃗ f(x,y)=\vec{v}^T\cdot M\cdot\vec{v} \longmapsto g(x,y)= (R\cdot\vec{v})^T\cdot M\cdot (R\cdot\vec{v})=\vec{v}^T \cdot R^T M R\cdot \vec{v} = \vec{v}^T \cdot M_1 \cdot \vec{v} f(x,y)=v T⋅M⋅v ⟼g(x,y)=(R⋅v )T⋅M⋅(R⋅v )=v T⋅RTMR⋅v =v T⋅M1⋅v

显然，通过上面的分析可得，新的二次方程中对应的系数矩阵 M 1 = R T M R M_1 = R^T M R M1=RTMR

>>> M_1 = R.T*M*R
>>> simplify(A_1-M_1[0])     #验证A_1 = M_1[0]，求差法
0
>>> simplify(B_1-M_1[1])     #验证B_1 = M_1[1]
0
>>> simplify(D_1-M_1[2])     #验证D_1 = M_1[2]
0
>>> simplify(E_1-M_1[5])     #验证E_1 = M_1[5]
0
>>> simplify(F_1-M_1[8])     #验证F_1 = M_1[8]
0
>>> simplify(C_1-M_1[4])     #验证C_1 = M_1[4]
0
>>> A_2 = M_1[0]
>>> B_2 = M_1[1]
>>> C_2 = M_1[4]
>>> D_2 = M_1[2]
>>> E_2 = M_1[5]
>>> F_2 = M_1[8]

由此可以立马得到真正的：
A 2 = M 1 [ 0 ] B 2 = M 1 [ 1 ] C 2 = M 1 [ 4 ] D 2 = M 1 [ 2 ] E 2 = M 1 [ 5 ] F 2 = M 1 [ 8 ] A_2 = M_1[0]\qquad B_2=M_1[1]\qquad C_2=M_1[4]\\ D_2=M_1[2]\qquad E_2=M_1[5]\qquad F_2=M_1[8] A2=M1[0]B2=M1[1]C2=M1[4]D2=M1[2]E2=M1[5]F2=M1[8]

不同坐标系，相同的圆锥曲线

由于圆锥曲线的形状不会随着坐标系的变换而改变，在旋转和平移下，圆锥曲线形状不变。我们试着找出两个坐标系下的不同的代数式之间有什么不变量吗？

1. f ( x , y ) = A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 2. g ( x , y ) = A 2 x 2 + 2 B 2 x y + C 2 y 2 + 2 D 2 x + 2 E 2 y + F 2 = 0 1.\; f(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\\ 2.\; g(x,y)=A_2 x^2+2B_2 xy+C_2 y^2+2D_2 x+2E_2 y+F_2 = 0 1.f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=02.g(x,y)=A2x2+2B2xy+C2y2+2D2x+2E2y+F2=0

也可以用矩阵乘积来表示

1. f ( x , y ) = [ x , y , 1 ] [ A B D B C E D E F ] 1.\; f(x,y)=[x,y,1]\begin{bmatrix} A & B & D\\ B & C& E\\ D & E & F \end{bmatrix} 1.f(x,y)=[x,y,1]⎣⎡ABDBCEDEF⎦⎤ [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}\\[1em] ⎣⎡xy1⎦⎤

2. g ( x , y ) = [ x , y , 1 ] [ A 2 B 2 D 2 B 2 C 2 E 2 D 2 E 2 F 2 ] 2.\; g(x,y)=[x,y,1]\begin{bmatrix} A_2 & B_2 & D_2\\ B_2 & C_2 & E_2\\ D_2 & E_2 & F_2 \end{bmatrix} 2.g(x,y)=[x,y,1]⎣⎡A2B2D2B2C2E2D2E2F2⎦⎤ [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix} ⎣⎡xy1⎦⎤

系数之间的关系式写成矩阵形式为：

A 2 = [ cos ⁡ ( α ) , sin ⁡ ( α ) ] [ A B B C ] A_2 = [\cos(\alpha),\sin(\alpha)]\begin{bmatrix} A & B\\ B & C \end{bmatrix} A2=[cos(α),sin(α)][ABBC] [ cos ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) ] \begin{bmatrix} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha) \end{bmatrix} [cos(α)sin(α)]

C 2 = [ cos ⁡ ( α ) , sin ⁡ ( α ) ] [ C − B − B A ] C_2 = [\cos(\alpha),\sin(\alpha)]\begin{bmatrix} C & -B\\ -B & A \end{bmatrix} C2=[cos(α),sin(α)][C−B−BA] [ cos ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) ] \begin{bmatrix} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha) \end{bmatrix} [cos(α)sin(α)]

验证以下三个不变量：

H = A + C = A 2 + C 2 H = A + C = A_2 + C_2 H=A+C=A2+C2
Δ = B 2 − A C = B 2 2 − A 2 C 2 \Delta = B^2 - AC = B_2^2 - A_2 C_2 Δ=B2−AC=B22−A2C2
D e t = ∣ A B D B C E D E F ∣ Det = \begin{vmatrix} A & B & D\\ B & C & E\\ D & E & F \end{vmatrix} Det=∣∣∣∣∣∣ABDBCEDEF∣∣∣∣∣∣ = ∣ A 2 B 2 D 2 B 2 C 2 E 2 D 2 E 2 F 2 ∣ =\begin{vmatrix} A_2 & B_2 & D_2\\ B_2 & C_2 & E_2\\ D_2 & E_2 & F_2 \end{vmatrix} =∣∣∣∣∣∣A2B2D2B2C2E2D2E2F2∣∣∣∣∣∣

验证如下：

>>> trigsimp(A_2+C_2)
A + C
>>> trigsimp(B_2**2  - A_2*C_2)
-A*C + B**2
>>> M_2 = Matrix([
... [A_2, B_2, D_2],
... [B_2, C_2, E_2],
... [D_2, E_2, F_2]])>>> Determinant(M).doit()
A*C*F - A*E**2 - B**2*F + 2*B*D*E - C*D**2
>>> simplify(Determinant(M_2).doit())
A*C*F - A*E**2 - B**2*F + 2*B*D*E - C*D**2

参考资料

《古典几何学》（项武义，王申怀，潘养廉）P63-64

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朋友就职于某大型互联网公司.前不久,在闲聊间我问他日常工作的内容,他说他所在部门只负责一件事,即用户与登录. 而他的具体工作则是为各个业务子网站提供友好的登录部件(Widget),从而统一整个网站群的 ...
信号与系统仿真实验——实验二傅立叶变换MATLAB的实现及傅里叶变换性质的分析
[ 实验目的] 1.利用MATLAB分析非周期信号的频谱 2.观察信号频谱变化验证傅里叶变换性质 [ 实验内容] [ 实验报告要求] (1)记录实验一和实验三中的波形: (2)总结实验二中频谱特性曲线 ...
线性时态逻辑ctl_计算机系统形式化验证中的模型检测方法综述论文
计算机系统形式化验证中的模型检测方法综述论文 1 形式化方法概述形式化方法是用数学和逻辑的方法来描述和验证系统设计是否满足需求.它将系统属性和系统行为定义在抽象层次上,以形式化的规范语言去描述系统. ...

用SymPy验证圆锥曲线性质