SVM原理推导和SMO算法

第三次培训笔记

一、svm原理推导

svm原理用来解决二分类问题，使离超平面最近的点到该平面的距离最大化。

超平面是针对二分类问题，通过超平面将样本分为正类和负类，正类和负类的标签为yi,yi的取值只有+1和-1.取+1代表正类，取-1代表负类，这是一个判别模型。

通过使两类中离超平面最近点最大化的方式来确定超平面并求出超平面。

另一种理解最终导成一个有约束的一元二次方程，组求解时有限制，不是一个简单的一元二次方程组。引入拉格朗日乘子法。

运用的思想：将有n个变量与k个约束条件的最优化问题转化为一个有n+k个变量的方程组的极值问题。

对拉格朗日函数取最大，最优的情况就是等于原问题的目标函数。

用线性分类方法求解非线性分类问题分为两步：

使用一个变换将原空间的数据映射到新空间。
在新空间里用线性分类学习方法从训练数据中学习分类模型。

核函数的定义：设x是输入空间（欧氏空间Rn的子集或离散集合，又设H为特征空间（希尔伯特空间）如果存在一个x从到H的映射
Φ(x): X一H
使得对所有 r , z €X，函数 K(r,z）满足条件
K(x,z)=Φ(x)•(z)
则称 K(x,z）为核函数，Φ（x）为映射函数，式Φ（x)•(z）为Φ（x）和Φ（z）的内积。
核技巧的想法是，在学习与预测中只定义核函数 K(x,z)，而不显式地定义映射函数Φ。通常，直接计算 K （x，z)比较容易，而通过¢(x)和（z）计算 K （x，z）并不容易。注意，Φ是输入空间Rn到特征空间H的映射，特征空间H一般是高维的，甚至是无穷维的。可以看到，对于给定的核K(x,z)，特征空间H和映射函数¢的取法并不唯一，可以取不同的特征空间，即便是在同一特征空间里也可以取不同的映射。

正定核函数有两个性质：对称性和正定性。互相可推。

二、smo算法

为什么要两个两个求？

我们要选择一对变量，因为在SVM中变量是相互关联的：，若只固定一个α1，当我们对α1修正后，等号将不再成立。我们至少需要两个来保证等式成立。

变量的选择：

算法的得到：

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