用位运算实现四则运算之加减乘除（用位运算求一个数的1/3）

听同学百度二面中，不准用四则运算操作符来实现四则运算。一想就想到了计算机组成原理上学过的。位运算的思想可以应用到很多地方，这里简单的总结一下用位运算来实现整数的四则运算。

加法运算：

int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)
{if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算int sum,carry;sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加
}

简化一下：

int Add(int a,int b)
{return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;/*if(b)return Add(a^b,(a&b)<<1);elsereturn a;*/
}

上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。

非递归的版本如下：

int Add(int a, int b)
{int ans;while(b){   //直到没有进位ans = a^b;        //不带进位加法b = ((a&b)<<1);   //进位a = ans;}return a;
}

减法运算：

//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
int negtive(int a)   //取补码
{return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{return Add(a, negtive(b));
}

正数乘法运算：

//正数乘法运算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{int ans = 0;while(b){if(b&1)ans = Add(ans, a);a = (a<<1);b = (b>>1);}return ans;
}

整数除法（正整数）

//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
int Pos_Div(int x,int y)
{int ans=0;for(int i=31;i>=0;i--){//比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出if((x>>i)>=y){ans+=(1<<i);x-=(y<<i);}}return ans;
}

完整的实现：

// 加减乘除位运算
// 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现
// 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法
// 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;int Add(int a, int b)
{int ans;while(b){  //直到没有进位ans = a^b;        //不带进位加法b = ((a&b)<<1);   //进位a = ans;}return a;
}//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
int negtive(int a)   //取补码
{return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{return Add(a, negtive(b));
}// 判断正负
int ispos( int a )
{ //正return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);
}
int isneg( int a )
{ //负return a&0x8000;
}
int iszero( int a )
{ //0return !(a&0xFFFF);
}//正数乘法运算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{int ans = 0;while(b){if(b&1)ans = Add(ans, a);a = (a<<1);b = (b>>1);}return ans;
}//乘法运算
int Multiply(int a,int b)
{if( iszero(a) || iszero(b) )return 0;if( ispos(a) && ispos(b) )return Pos_Multiply(a, b);if( isneg(a) ){if( isneg(b) ){return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );}return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );}return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );
}//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
int Pos_Div(int x,int y)
{int ans=0;for(int i=31;i>=0;i--){//比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出if((x>>i)>=y){ans+=(1<<i);x-=(y<<i);}}return ans;
}//除法运算
int MyDiv( int a, int b )
{if( iszero(b) ){cout << "Error" << endl;exit(1);}if( iszero(a) )return 0;if( ispos(a) ){if( ispos(b) )return Pos_Div(a, b);return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );}if( ispos(b) )return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );
} // 比较两个正数的大小（非负也可）
int isbig_pos( int a, int b )
{  //a>b>0int c = 1;b = (a^b);if( iszero(b) )return 0;while( b >>= 1 ){c <<= 1;}return (c&a);
} // 比较两个数的大小
int isbig( int a, int b )
{ //a>bif( isneg(a) ){if( isneg(b) ){return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );}return 0;}if( isneg(b) )return 1;return isbig_pos(a, b);
}

扩展：在不使用*、/、+、-、%操作符的情况下，如何求一个数的1/3？（用C语言实现）
使用位操作符并实现“+”操作

// 替换加法运算符
int add(int x , int y)
{int res;while(y)       // 直到没有进位{res = x^y;       // 不带进位的加法y = ((x&y)<<1);  // 进位x = res;}return x;
}int divideby3(int num)
{int sum = 0;while(num > 3){sum = add(num>>2 , sum);num = add(num>>2 , num&3);}if(num == 3)sum = add(sum , 1);return sum;
}

原理：n = 4 * a + b; n / 3 = a + (a + b) / 3; 然后 sum += a, n = a + b 并迭代; 当 a == 0 (n < 4)时，sum += floor(n / 3); i.e. 1, if n == 3, else 0

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