Python 实现动态规划 /斐波那契数列

1、斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

（1）、递归算法（三点：终止条件（边界），最优子结构 F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2) 状态转移公式 F(n)=F(n-1)+F(n-2)）

def fab(n):# 终止条件 边界if n <= 2:return 1else:# 最优子结构 状态转移公式return fab(n - 1) + fab(n - 2)

（2）、优化递归算法会重复计算多次同一个式子如图相同的颜色代表了方法被传入相同的参数。所以需要记录下已经计算过得数，防止重复计算

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# 记录已经计算过得 值
dict_fab = {}def fab_2(n):# 终止条件 边界if n <= 2:return 1elif dict_fab.get(n):print('*')return dict_fab.get(n)else:# 最优子结构 状态转移公式dict_fab[n] = fab_2(n - 1) + fab_2(n - 2)return dict_fab[n]

（3）、动态规划

# 最终优化 动态规划  （大问题化成若干相同类型的子问题 然后一个个解决子问题）
def fab_3(n):# 由前往后推a = 1b = 1if n <= 2:print('fab({})={}'.format(n, b))return 1for i in range(n - 2):print(a, b)a, b = b, a + bprint('fab({})={}'.format(n, b))return b

2、盛水问题 Python解法

（1）、暴力解法

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def trap(height):sum_water = 0size = len(height)for i in range(size):max_left = 0max_right = 0for j in range(0, i + 1):max_left = max(max_left, height[j])for j in range(i, size):max_right = max(max_right, height[j])sum_water += min(max_left, max_right) - height[i]return sum_water

（2）、动态规划（记忆算法，记录i 位置的左右最大数，减少for循环层级时间复杂度有o（n²）变为 o(n)）

def trap_water_dy():height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]sum_water = 0size = len(height)max_left_lsit = [None]*sizemax_left_lsit[0] = height[0]max_right_list = [None]*sizemax_right_list[-1] = height[-1]for i in range(1, size):max_left_lsit[i] = max(height[i], max_left_lsit[i - 1])for i in range(size-1):max_right_list[size - 2 - i] = max(height[size - 2 - i], max_right_list[size - i - 1])for i in range(size):sum_water += min(max_left_lsit[i], max_right_list[i]) - height[i]return sum_water

（3）、双指针

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def trap_two_point():height = [0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]left = 0right = len(height) - 1ans = 0left_max = 0right_max = 0while left < right:  # 循环数组一遍if height[left] < height[right]:  # 当左边的小于右边的 能装多少水 由左边的最高高度决定if height[left] >= left_max:left_max = height[left]ans += (left_max - height[left])left += 1else:  # 当右边小于左边时 装的水量由右边的最高高度决定if height[right] >= right_max:right_max = height[right]ans += (right_max - height[right])right -= 1return ans

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